Свойства функций

?

1)Возрастание и убывание функций. ! Функцию у = f (x) называют возрастающей на множестве Х D (f), если для любых точек х 1 и х 2 из множества Х таких, что х 1 ˂ х 2 выполняется неравенство f (x 1 ) ˂ f (x 2 ). х 1 ˂ х 2 f (x 1 ) ˂ f (x 2 )

! Функцию у = f (x) называют убывающей на множестве Х D (f), если для любых точек х 1 и х 2 из множества Х таких, что х 1 ˂ х 2 выполняется неравенство f (x 1 ) f (x 2 ). х 1 ˂ х 2 f (x 1 ) f (x 2 ) х1х1 х1х1 х2х2 х2х2 у2у2 у1у1 у1у1 у2у2

! Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента (х) соответствует большее значение функции (у) ! Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента (х) соответствует меньшее значение функции (у).

«возрастающая функция» и «убывающая функция» «монотонная функция» Пример: 1) у = 2х ) у = 6 – 3х

2 ) Ограниченность функций. 1. ! Функцию у = f (x) называют ограниченной снизу на множестве Х D (f), если все значения этой функции на множестве Х больше некоторого числа. у = f(x) – ограничена снизу, если f (x) m. m

! Функцию у = f (x) называют ограниченной сверху на множестве Х D (f), если все значения этой функции на множестве Х меньше некоторого числа. у = f(x) – ограничена снизу, если f (x) ˂ M. М

2. Наибольшее и наименьшее значение функции. ! Число m = у наим., если: 1)существует х 0 Х, f (x 0 ) = m 2)для любого х выполняется равенство f (x) f (x 0 ). y наим

! Число m = у наиб., если: 1)существует х 0 Х, f (x 0 ) = М 2)для любого х выполняется равенство f (x) f (x 0 ). у наиб

Утверждения: 1. Если функция имеет наименьшее значение, то она ограничена снизу. 2. Если функция имеет наибольшее значение, то она ограничена сверху. 3. Если функция не ограничена снизу, то у неё не существует наименьшего значения. 4. Если функция не ограничена сверху, то у неё не существует наибольшего значения.

3) Четность и нечетность функций ! Функцию у = f (x) называют четной, если для любого значения х Х выполняется равенство f (-x) = f (x) ! Функцию у = f (x) называют нечетной, если для любого значения х Х выполняется равенство f (-x) = - f (x)

у = х 2, у = х 4, у = х 6, у = х 8, … - четные функции у = х 3, у = х 5, у = х 7, у = х 9, … - нечетные функции ! у = 2х + 3; у(-х) = -2х +3 у (-х) у (х) и у(-х) - у(х) у = 2х + 3– не является ни четной, ни нечетной

! Если х Х и - х Х, то множество Х называют симметричным. Пример: 1) (-2; 2), [-5; 5], (- ; + ) - симметричные 2) [ 0; + ), (-2; 3), [-5; 4] - несимметричные ! Если функция четная или нечетная, то её область определения – симметричное множество.

Алгоритм исследования функции у = f (х), х Х на четность. 1. Установить симметрична ли область определения функции ( если нет, то функция ни четная, ни нечётная). 2. Найти f (-x). 3. Сравнить f (-x) и f (x): а) если f (-x) = f (x), то функция чётная б) если f (-x) = - f (x), то функция нечётная в) если f (-x) f (x) и f (-x) - f (x) ни в одной точке, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Графики функций: 1) Чётная функция – график симметричен относительно оси Оу 2) Нечётная функция – график симметричен относительно начала координат.

4. Выпуклость функции. Выпукла вниз Выпукла вверх 5. Непрерывность (разрывность) функции

Свойства функции: 1. Монотонность ( или ) 2. Ограниченность 3. Наибольшее и наименьшее значение функции 4. Четность, нечетность 5. Непрерывность 6. Выпуклость