Понятие объема. Равновеликие тела. Объем параллелепипеда. Объем призмы. ГБОУ СОШ с углубленным изучением английского языка 1353 Учитель математики Сазыкина Г.В. Москва 2013год

Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется величиной, называемой ОБЪЕМОМ. Так что же такое – объем пространственной фигуры? Под объемом пространственной фигуры понимается положительная величина, обладающая следующими свойствами: 1)равные фигуры имеют равные объемы; 2)объем фигуры равен сумме объемов ее частей; 3)объем куба с ребром единичной длины равен одной кубической единице. V 1 =V 2 V=V 1 +V 2 +V 3 1 ед.отр. V=1 куб.ед.

Понятие объема. Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.треугольных пирамид В частности, любой выпуклый многогранник является простым телом.многогранник Объемом тела называется положительная величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и обладающая следующими свойствами: равные тела имеют равные объемы; при параллельном переносе тела его объем не изменяется; если тело разбить на части, являющиеся простыми телами, то объем тела равен объему его частей; за единицу объема принят объем куба, ребро которого равно единице длины;

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение кубатур (вычисление объемов) тел связаны с применением метода исчерпывания, предположенным Евдоксом Книдским (около до нашей эры). Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.

Объём прямоугольного параллелепипеда Теорема: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений. Если a,b,c – измерения прямоугольного параллелепипеда, то V = abc. Следствие 1: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. V = abc=Sh.

a b c=H V=a·b·c Самым естественным образом определяется объем прямоугольного параллелепипеда, как геометрического тела составленного из определенного количества единичных кубов. А значит, его объем определяется как сумма объемов этих единичных кубов.

a b c=H Эту же формулу объема прямоугольного параллелепипеда можно получить пользуясь понятием бесконечной интегральной суммы. Объем прямоугольного параллелепипеда можно понимать как бесконечную сумму площадей основания, взятых вдоль его высоты. x 0 x x [ 0; H ]

A B A1A1 C1C1 E1E1 D E M M1M1 Рассмотрим произвольную треугольную прямую призму ABCA 1 B 1 C 1. Разобьем призму на две прямые треугольные призмы ABMA 1 B 1 M 1 и BCMB 1 C 1 M 1 плоскостью, проходящей через высоту основания B 1 M 1 и боковое ребро BB 1.. C D1D1 B1B1

Следствие 2. Объём прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. V = S ABC h.

Перемещая соответствующим образом одну из частей можно получить прямую треугольную призму, равную по объему данной наклонной призме. B C K A1A1 B1B1 C1C1 A K1K1 m Тогда:, где S сеч. – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру и m – длина бокового ребра.

– В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. Среди них английские меры: Бушель – 36,4 дм3 Галлон – 4,5 дм3 Баррель (сухой) – 115,628 дм3 Баррель (нефтяной) – 158,988 дм3 Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм3. Меры когда-то, применявшиеся в России: Ведро – 12 дм3 Бочка – 490 дм3 Штоф – 1,23 дм3 = 10 чарок Чарка – 0,123 дм3=0,1 штофа = 2 шкалика Шкалик – 0,06 дм3 = 0,5 чарки.