Математический диктант: 1.Сколько точек характеризуют прямую? 2.Верно ли, что через любую точку пространства можно провести множество прямых, параллельных данной прямой? 3.Закончите фразу: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая эту плоскость… 4.Верно ли утверждение, что две не пересекающиеся прямые в пространстве, параллельны? 5. Верно ли утверждение, что если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны друг другу? (Две. Через одну точку проходит бесчисленное множество прямых). (Нет. По теореме о существовании прямой, параллельной данной прямой, через точку пространства можно провести единственную прямую). (Так же пересекает – по лемме о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми). (Нет. В пространстве не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые). (Нет, они могут так же пересекаться и быть скрещивающимися).

Вполне возможно, что идея параллельного проектирования подсказана математикам именно механизмом образования солнечных теней. Слово проекция в переводе с латинского означает бросание вперед, вдаль.

Стереометрия – это геометрия в пространстве. Нам необходимо уметь изображать геометрические фигуры, причем все чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости (на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость? Для этого применяется метод параллельного проектирования. Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры – точки. Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве – точка А. А

А Выберем в пространстве произвольную плоскость (плоскость проекций) и любую прямую l (она определяет направление параллельного проектирования). l

А l Проведем через точку А прямую, параллельную прямой а. А1 Точка А 1 пересечения этой прямой с плоскостью и есть проекция точки А на плоскость. Точку А ещё называют прообразом, а точку А1 – образом. Если А, то А 1 совпадает с А.

Рассматривая любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости. l Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом в пространстве тень от солнечных лучей (направление параллельного проектирования) на Земле (плоскость проекций).

8 Что такое проекция фигуры на плоскость? Параллельной проекцией пространственной фигуры Φ называется множество Φ 1 параллельных проекций всех точек данной фигуры. Ф Ф1Ф1 Каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A 1 на плоскость. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость в направлении прямой l.

Примечание1: При параллельном проектировании не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости проекции А l

Примечание2: При параллельном проектировании плоских фигур не выбирают направление параллельного проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры. А l B C А1 B1B1 C1C1

Примечание 3: Если направление параллельного проектирования перпендикулярно плоскости проекций, то такое параллельное проектирование называется ортогональным(прямоугольным) проектированием. А l B C А1 B1B1 C1C1

Свойства параллельного проектирования 1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.

Свойства параллельного проектирования 2Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой (или на параллельных прямых). В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

Свойства параллельного проектирования 3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой l, то их проекциями в направлении l могут быть или две параллельные прямые или одна прямая.

Свойства параллельного проектирования π β F F1F1 А В А1А1 В1В1 l 4. Если плоская фигура F лежит в плоскости, параллельной плоскости проекции, то ее проекция F 1 на эту плоскость равна фигуре F

Если плоскость проекций и плоскость, в которой лежит данная фигура параллельны ( ||(АВС)), то получающееся при этом изображение равно фигуре. А l B C А1 B1B1 C1C1

Параллельное проектирование обладает свойствами: 1) параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется; l A D C B A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 AB ||CD => A 1 B 1 ||C 1 D 1

2) отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется; 1)параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется; l A D C B A1 D1 C1 B1 Если, например, АВ=2CD, то А 1 В 1 =2C 1 D 1 или М М1М1

1)параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется; l A B A1 B1 3) Линейные размеры плоских фигур(длины отрезков, величины углов) не сохраняются (исключение ортогональное проектирование). 2) длины отрезков не сохраняются, а отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется; β β1β1 C C1

В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка? l a Если прямая параллельна направлению проектирования. Сколько точек может получиться при параллельном проектировании трех различных точек пространства? l Три l Две l Одна ?

Какие фигуры могут служить проекциями двух пересекающихся прямых? ? Проекции АВ и СД – пересекающиеся прямые Проекция АВ – прямая, а СД – точка на этой прямой.

Какие фигуры могут служить проекциями двух параллельных прямых? a b b1b1 a1a1 l a b l a b l a 1 (b 1 ) Если прямые параллельны, то они проектируются или в две параллельные прямые (их плоскость не параллельна направлению проектирования) (рис. 1), или в две точки (прямые параллельны направлению проектирования) (рис.2), или в одну прямую (их плоскость параллельна направлению проектирования, но сами они не параллельны направлению проектирования) (рис. 3). ?

Какие фигуры могут служить проекциями двух скрещивающихся прямых? a b a1a1 b1b1 l a b a1a1 l Если прямые скрещиваются и ни одна из них не параллельна направлению проектирования и не лежат в плоскостях, параллельных проектирующей прямой,, то они проектируются соответственно в пересекающиеся прямые (рис.1), если прямые скрещиваются и одна из них параллельна направлению проектирования, то они проектируются соответственно в прямую и не принадлежащую ей точку (рис.2), если скрещивающиеся прямые лежат в плоскостях, параллельных проектирующей прямой, то они проектируются в параллельные прямые (рис.3). 1 2 b a1a1 b1b1 l a 3 ?

Сохраняются ли при параллельном проектировании величины углов? l A B C A1 B1 C1 l A B C A1 C1 Сохраняются ли при параллельном проектировании длины отрезков? B1 ?

Проверь себя: В каком случае параллельной проекцией прямой будет точка? (Если прямая параллельна направлению проектирования). Справедливо ли утверждение: Параллельные прямые не параллельные направлению проектирования, проектируются в параллельные прямые? Справедливо ли утверждение: Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые или в одну прямую? В пространстве задана прямая. Может ли ее параллельная проекция быть параллельной этой прямой? Можно ли по проекции точки на плоскость определить положение самой точки в пространстве? В каких случаях положение прямой в пространстве определяется заданием ее проекции на плоскость? (Если прямая параллельна направлению проектирования). (Нет). (Да ). (Нет).

Фигура в пространствеЕё изображение на плоскости Произвольный треугольник Прямоугольный треугольникПроизвольный треугольник Равнобедренный треугольникПроизвольный треугольник

Фигура в пространствеЕё изображение на плоскости Равносторонний треугольникПроизвольный треугольник ПараллелограммПроизвольный параллелограмм ПрямоугольникПроизвольный параллелограмм

Фигура в пространствеЕё изображение на плоскости Квадрат Произвольный параллелограмм ТрапецияПроизвольная трапеция Произвольный параллелограмм Ромб

Фигура в пространствеЕё изображение на плоскости Равнобокая трапецияПроизвольная трапеция Прямоугольная трапеция Произвольная трапеция Круг (окружность) Овал (эллипс)

Как построить изображение правильного шестиугольника? Анализ. Правильный шестиугольник состоит из правильных треугольников, два смежных образуют ромб, проекцией которого является произвольный параллелограмм. Фигура имеет центр симметрии. Построение. Строим параллелограмм, выполняем симметрию относительно одной из вершин, соединяем полученные вершины. ?

A BC D EF O F A BC D E Разобьем правильный шестиугольник на три части: прямоугольник FBCE и два равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE – произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D. Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA. K N Значит, 1) находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K; O NK 2) откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D. ?

A B C DE Как построить изображение правильного пятиугольника. Разобьем фигуру на две части – равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем пользуясь свойствами свойствами этих фигур и,конечно же, свойствами параллельного проектирования строим пятиугольник. A C DE B ?

Как на параллельной проекции треугольника построить проекцию его медианы? К1К1 Помни : отношения отрезков одной прямой сохраняются, т.е. если ВК=КС, то и В 1 К 1 =К 1 С 1 ! ?

Дано изображение А 1 В 1 С 1 треугольника АВС со сторонами АС=3, ВС= 4, АВ= 5. Построить изображение С 1 D 1 высоты СD, опущенной на сторону АВ. Исходный треугольник- прямоугольный, и высота СD делит гипотенузу АВ на отрезки АD и DВ, длины которых относятся как квадраты катетов, т.е. АD : DВ = 9:16. ( В прямоугольном треугольнике отношение проекций катетов на гипотенузу равно отношению квадратов катетов). По свойству 3 изображение D1 точки D должно делить отрезок А1В1 в том же отношении А 1 Д 1 : Д 1 В 1 = 9:16. Поэтому надо разделить А 1 В 1 в этом отношении ( что делается циркулем и линейкой) и соединить С 1 c D 1. ?

Замечание: при построении биссектрисы треугольника используют пропорциональность отрезков стороны, к которой она проведена, боковым сторонам. 12 На рис.1 ВD – биссектриса треугольника АВС, а на рис.2 В 1 D 1 – ее изображение. треугольник проекция треугольника ? Как на параллельной проекции треугольника построить проекцию его биссектрисы?

Дано изображение окружности. Построить изображение ее центра. А1 В1 О1 а1а1 b1b1 Проведем в изображении две параллельные хорды b 1 и a 1.Они являются изображениями параллельных хорд a и b исходной окружности. Середины А и В соответственно хорд a и b лежат на диаметре. Следовательно, их изображения А 1 и В 1 лежат на изображении этого диаметра. По свойству 2 точки А 1 и В 1 - середины хорд a 1 и b 1 соответственно, их можно построить на нашем изображении. Проведя прямую А 1 В 1, получим изображение диаметра d 1. Середина О 1 отрезка d 1 по свойству 3 является искомым изображением центра окружности. d1d1 Повтори: -Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к ней. -Диаметр окружности, перпендикулярный к хорде, делит ее по полам.) ?

Как построить изображение правильного треугольника, вписанного в данную окружность (ее проекцию)? Анализ. Вспомним, что радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной. Значит сторона треугольника делит радиус окружности пополам и перпендикулярна ему. Построение. На изображении окружности строим диаметр, через середину радиуса – перпендикулярную ему хорду. Достраиваем до треугольника. ?

Изображение куба:

а Изображение пирамиды :

Проверь себя: Как построить проекции средних линий треугольника? Как на изображении квадрата построить центр описанной около него окружности? Перпендикуляр, опущенный из точки на стороне квадрата, на диагональ квадрата? На параллельной проекции треугольника постройте биссектрису из вершины В, если треугольник-оригинал имеет размеры АВ=2 см, ВС=6 см, АС= 5 см. Может ли проекцией трапеции с основаниями 4 см и 8 см быть трапеция с основаниями 2 см и 6 см? Точки A 1, B 1 являются параллельными проекциями точек A, B. AA 1 = a, BB 1 = b. Точка C делит отрезок AB в отношении m : n. Найдите расстояние между точкой C и ее проекцией C 1.

Д/задание: § 40 2, 3, 4, 5, 8 § 41 5, 9, 10. Удачи!!!