Комплексные числа ГБОУ СОШ 1353 учитель математики Г. В. Сазыкина

VII в. н. э. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя : нет такого числа х, чтобы х 2 = - 25.

Впервые, по - видимому, мнимые величины появились в известном труде « Великое искусство, или об алгебраических правилах » Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Джероламо Кардано итал.итал. Gerolamo Cardano Дата рождения :24 сентября 24 сентября Место рождения : Павия Дата смерти :21 сентября 21 сентября 1576 (74 года )1576 Место смерти : Рим Страна : Италия Научная сфера : математик математик, инженер инженер Альма - матер Альма - матер : Падуанский университет Известен как : публикатор формулы Кардано формулы Кардано

Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a + ib, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стал называть «мнимыми числами» в 1637 году Р.Декарт, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». [] [] Задача о выражении корней степени из данного числа была решена в работах Муавра (1707). Символ предложил Эйлер (1777, 1779), взявший для этого первую букву слова imaginarius.

Введем новое число i, которое будем считать корнем уравнения х = 0, i = 0, i 2 = - 1. Комплексными числами называют упорядоченные пары (a, b) действительных чисел a и b, для которых следующим образом определены понятия равенства, операции сложения и умножения. Пусть z(a; b) – комплексное число, положим z 1 (a 1 ; b 1 ) и z 2 (a 2 ; b 2 ). Два числа считаются равными тогда и только тогда, когда a 1 = a 2 ; b 1 = b 2.

Сумма и произведение комплексных чисел z 1 и z 2 обозначаются соответственно z 1 + z 2 ; z 1 z 2 и определяются формулами z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ; b 1 + b 2 ), z 1 z 2 =(a 1 a 2 - b 1 b 2 ; a 1 b 2 + a 2 b 1 ). Среди комплексных чисел особую роль играет число i = ( 0; 1), которое называют мнимой единицей. i i = ( 0; 1)( 0; 1) = ( -1; 0) = -1, т. е. i 2 = - 1. Запись комплексного числа z(a; b) в виде z = a + ib называют алгебраической формой комплексного числа.

Запись комплексного числа z(a; b) в виде z = a + ib называют алгебраической формой комплексного числа. В данной записи число а называют действительной частью комплексного числа, число b – мнимой частью и обозначают Re z = a, Im z = b. Если а = 0, т. е. z= ib, то такое число называют чисто мнимым. В записи комплексного числа a и b считаются действительными. Множество комплексных чисел обозначают буквой С.

Пример 1. Найдите действительные числа х и у, если а ) 4х + 3iy = 8 – 12i, б) x + 2y + i(x – y) = 1 + 4i/ Пример 2. Найти произведение z = ( 2 – 3i) (1 + 2i)

Свойства операций сложения и умножения. 1.Коммутативность. z 1 + z 2 = z 2 + z 1, z 1 z 2 = z 2 z 1 2.Ассоциативность. (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ), (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) 3.Дистрибутивность. (z 1 + z 2 ) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3

Комплексно - сопряженные числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и деления комплексных чисел. Сопряженным с числом называется комплексное число ( сопряжённое к сопряжённому есть исходное ) Доказать самостоятельно.

Модуль комплексного числа. Модулем комплексного числа называется число Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число. Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.

Вычитание. Комплексное число ( - 1 ) z называется противоположным комплексному числу z и обозначается - z. Если z = a + bi, то - z = - a – bi. Вычитание комплексных чисел вводится как операция обратная сложению. Если z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 – b 2 i, то z 1 - z 2 = z 1 = a 1 + b 1 i - ( a 2 – b 2 i ) = (a 1 - a 2 )+ (b 1 – b 2 ) i Пример. Найти разность z = ( 1 + 2i ) – ( i )

Деление комплексных чисел Делением называется действие, обратное умножению., Докажем, что уравнение для любых комплексных чисел имеет только один корень, и найдем этот корень.

Если, то Примеры. Вычислить :

Геометрическое изображение комплексных чисел. Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами ( а также радиус - вектор, соединяющий начало координат с этой точкой ). Такая плоскость называется комплексной. Действительная часть числа на ней занимает горизонтальную ось, мнимая часть изображается на вертикальной оси ; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями. Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат ( модуль ) и угол радиус - вектора точки ( показанного синей стрелкой на рисунке ) с горизонтальной осью ( аргумент ).

Геометрический смысл модуля комплексного числа Модулем ( абсолютной величиной ) комплексного числа называется длина радиус - вектора соответствующей точки комплексной плоскости ( или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат ). Модуль комплексного числа z обозначается |z| и определяется выражением Часто обозначается буквами r или ρ.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Тригонометрическая форма комплексного числа. Любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме : где – это модуль комплексного числа, аргумент комплексного числа. Изобразим на комплексной плоскости число. Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т. е. считаем, что : a > 0, b > 0

Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус - вектора, который на чертеже обозначен красным цветом. Модуль комплексного числа стандартно обозначают : IzI или r. По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа : Аргументом комплексного числа z называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус - вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа :.z = 0. Аргумент комплексного числа z стандартно обозначают : или arg Z.

Тригонометрическая и показательная формы Если действительную a и мнимую b части комплексного числа выразить через модуль r = IzI и аргумент, т.е., то всякое комплексное число z,, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: где расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени. Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел. Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид : где r модуль, аргумент комплексного числа. Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n- ой степени из ненулевого комплексного числа :