Тригонометрические уравнения.

Цели проекта: систематизировать информацию по теме; преподнести её на доступном языке; создать тренажеры с самопроверкой и контрольными вариантами для обработки полученной информации.

I. Точки на единичной окружности действительные числа. Каждому действительному числу a соответствует одна точка единичной окружности., если а – положительное число, то поворот осуществляется против часовой стрелки, а если отрицательное, то по часовой стрелке.

II.Запись всех чисел, соответствующих данным точкам единичной окружности. 1) Одной точке Р соответствует множество чисел вида 2) Две точки, симметричные относительно начала координат, соответствуют числам, задаваемым формулой 3) Две точки, симметричные относительно оси абсцисс, соответствуют множеству чисел

4) Запишем все числа, которым соответствуют две точки, симметричные относительно оси ординат, Это же множество чисел можно задать двумя сериями: Объединим в одну серию (ес­ли n - четное, то имеем числа, соответствующие точке, если n нечетное, то точке

Упражнения 1. Запишите множество чисел, соответствующее точкам: I вариант

2. Укажите на окружности точки, соответствующие числам вида: I вариант Упражнения а) б) в) г)

3. Укажите на единичной окружности точку с данными координатами и запишите все числа, соответствующие этой точке: Упражнения I вариант а) б) в) г) Г )

4. Укажите на единичной окружности все точки с данной ординатой и запишите все числа, соответствующие этим точкам; I вариант а) б) в) Упражнения А) Б) В)

5. Укажите наединичной окружности все точки с данной абсциссой запишите все числа соответствующие этим точкам: I вариант а) б) в) Упражнения

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а) б)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а) б)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а) б) в)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а) б) в)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а) б) в) г)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а) б) г) в)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а) б) в) г) д)

Выберите числа, входящие в данное множество из приведенных ниже: 6.Тренировочные упражнения. Упражнения а) б) в) г) д)

Типы тригонометрических уравнений. I. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнение вида Полезно помнить, что при

Если то решений нет Если то I. Простейшие тригонометрические уравнения.

Особые случаи:

Уравнения вида Нужно помнить, что при

Нужно помнить

Вопрос: сколько корней имеет данное уравнение? Ответ: бесконечное множество корней вида Данные уравнения являются также простейшими и решаются сначала относительно, а затем полученные уравнения решаются относительно х. II.Уравнения вида 2) Задание: укажите несколько различных корней данного уравнения. Ответ: например, при при 1)

Уравнения вида 3)3) Вопрос: как расположены на числовой оси точки, соответствующие корням данного уравнения? Ответ: эти точки расположены на числовой оси на одинаковом расстоянии друг от друга, равном Одна из таких точек 4) Вопрос: можно ли записать ответы, не используя ? Ответ: да, можно Таким образом, ответ можно записать двумя "сериями": в каждой из которых бесконечное множество решений.

Примеры. В каждом из приводимых примеров сделаны ошибки. Напишите верный ответ. Подумайте о причине ошибки. б) в)в) а)

Примеры. В каждом из приводимых примеров сделаны ошибки. Напишите верный ответ. Подумайте о причине ошибки. г)г)д)д) нет решений;

Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данного уравнения. Вариант I а).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6

Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данного уравнения. Вариант I а).2; ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6 6

Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данного уравнения. Вариант I а) б).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6

.2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; ; 2 ; 3 3 ; 6 Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данного уравнения. Вариант I а) б)

Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данного уравнения. Вариант I а) б) в).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6

Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данного уравнения. Вариант I а) б) в).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 3 ; 6

Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данного уравнения. Вариант I а) б) в) г).2; 6 11 ; 3 5 ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; 3 2 ; 2 ; 3 ; 6

.2; 6 11 ; ; 2 3 ; 3 4 ; 6 7 ;; 6 5 ; ; 2 ; 3 ; 6 Среди приведенных чисел укажите те, которые являются корнями данного уравнения. Вариант I а) б) в) г)

III. Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций: а) уравнение вида равносильно объединению уравнений: б) уравнение вида равносильно объединению уравнений : в) уравнение вида равносильно системе: (или ),

1) или 2) или Примеры.

4) или 3) Ответ: Примеры.

IV. Тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного и того же аргумента и решаемые методом подстановки. 1) Пусть Примеры. Пусть 2) - постороннее решение

3) Пустьтогда 4) Решите данное уравнение, если один из его корней Найдем а, подставивт. е. При найденном а уравнение принимает вид: Пусть -постороннее решение, так как Примеры.

V. Уравнения, приводящиеся к предыдущему типу по формулам: а) б) в) г) 1) Пустьтогда - постороннее решение, так как Вопрос: чему может быть равен модуль разности двух соседних корней этого уравнения? Ответ:или Примеры.

Вопрос: назовите наименьший положительный корень уравнения. Ответ: 2) Пустьтогда После преобразований получаем уравнение (т. к. ). Примеры. Пустьтогда и т. дФ x cos5 3 x2 3)

4) Пустьтогда - посторонний корень, так как Вопрос: укажите наибольший отрицательный корень этого уравнения. Ответ: Примеры.

VI. Однородные уравнения. Вид однородной функции от двух переменных u и первой степени, например: второй степени: третьей степени:и т. д. В тригонометрии обычно (но не всегда) Примеры. 1) Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cos x. При этом получится равносильное уравнение. Чтобы в этом удостовериться, покажем, что уравнение cos х = 0 не содержит корней данного уравнения. Действительно, если то но это невозможно, так как Следовательно, имеем равносильное уравнение

2) разделим обе части уравнения на cos х, не рискуя потерять корни: 3) Вопрос: на каком отрезке больше корней данного уравнения? Ответ: одинаково (в силу нечетности тангенса). Примеры.

Если уравнение может быть приведено к виду, когда его левая часть есть однородное выражение второй степени от­носительно тригонометрических функций, а в правой есть число, отличное от нуля, то такое уравнение можно привести к однородному уравнению второй степени относительно и, представив число в правой части 5) Вопрос: найти наименьший по абсолютной величине корень данного уравнения. Ответ: 6)

7) Пусть или тогда Ответ: Примеры.

VII. Уравнения, решающиеся разложением на множители. При решении этого типа уравнения необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. 1) или ОДЗ: Примеры. 2) или

Примеры. 3) или 4)4) 5) После группировки

VIII. Уравнения вида: Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле: где

Примеры. 1) 3) 2) Решений нет. 4) 5) где например,

IX. Уравнения, решающиеся оценкой значений левой и правой части. Примеры. 1) Уравнение корней не имеет, т. к. выражение меняется в границах Уравнение корней не имеет. 2)

- (верно). 3) Так как то и равенство возможно лишь при Корни первого уравнения определяются формулой Подставим это значение во второе уравнение: Значит, это корни данного уравнения. Ответ: Примеры

7) Так как левая часть уравнения меньше или равна 5, а правая часть больше или равна 5, то равенство может быть достигнуто только в случае только в случае, когда обе части уравнения равны 5. Правая часть равна 5 при Подставим это значение не является корнем уравнения. Ответ: решений нет. Примеры.

Некоторые приемы решения тригонометрических уравнений. 1. Применение тригонометрических формул. 1) Ответ : 2) Ответ :

2. Понижение степени. 1) Ответ : 2) Ответ :

3. Преобразование произведения в сумму. 1) Ответ : 2) Ответ :

4. Понижение кратности аргумента и понижение степени. 1) Ответ :

Трифонова Таня Момот Света Ембулаев Коля Карамышева Елена Евгеньевна