Научный руководитель: Бобков Владимир Васильевич, проф. кафедры Выч.Мат., д-р физ.-мат. наук БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ и ИНФОРМАТИКИ Кафедра вычислительной математики КОВАЛЕЦ ЯНИНА АНАТОЛЬЕВНА

ЦЕЛЬ 1.Показать существование явного метода, не обремененного существенными ограничениями на шаг и не требующего точного обращения матрицы; 2.Применить данный метод к решению СЛАУ; 3.Сравнить с неявным методом Эйлера, примененным к той же задаче, используя один из способов аппроксимации обратной матрицы; 4.Показать, что неявный метод Эйлера выходит на неверный стационар при неточном обращении матрицы; 5.Сравнить результаты методов установления с результатами неявным методом Эйлера при разных значениях размерности задачи и шага. ЗАДАЧИ Проанализировать методы установления при численном решении систем линейных алгебраических уравнений. Ковалец Я.А. 2

ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ Решить СЛАУ вида, (1) где. Вместо нахождения решения СЛАУ, можно решать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2) с начальными условиями. (3) Ковалец Я.А. Т.к. решением задачи (2),(3) является которое стремится к решению СЛАУ (1) при Слайд 1 3

НОВЫЙ ИТЕРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС Можно построить процесс, сходящийся быстрее: где (5) При этом Ковалец Я.А. (6) (4) 4

НЕЯВНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА Представим его в виде (8) Согласно итерационному процессу, при использовании метода в данном виде, выйдем на решение (9) где (11) Проведя ряд преобразований, легко получить, что (12) Т.о. метод сохраняет положение равновесия при точном вычислении матрицы E. Ковалец Я.А. (7) (10) 5

НЕЯВНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА Теперь заменим некоторой приближенной матрицей Q. В результате получим (13) Вывод: при приближенном вычислении матрицы метод не сохраняет положение равновесия. Ковалец Я.А. 6

АЛЬТЕРНАТИВА НЕЯВНОМУ МЕТОДУ ЭЙЛЕРА Данный метод не имеет ограничений на шаг и сохраняет положение равновесия даже при приближенном вычислении матрицы. Метод (14) – неявный метод установления. Покажем, что решения, полученные с помощью данного метода и неявного метода Эйлера, совпадают, для чего приравняем правые части: Умножив на, получим Ковалец Я.А. (14) 7

В качестве можно взять значение (15) где Тогда получим явный метод установления, имеющий вид (16) Его стационарное решение: (17) Ковалец Я.А. АЛЬТЕРНАТИВА НЕЯВНОМУ МЕТОДУ ЭЙЛЕРА 8

СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИЯ МАТРИЦЫ Данный способ выделяется тем, что выбираем, такое, что (18) где (19) А для приближения воспользуемся разложением вида (20) Ковалец Я.А. 9

СПОСОБ ПРИБЛИЖЕНИЯ МАТРИЦЫ Тогда при k = 0 метод установления будет выглядеть следующим образом: (21) Его стационарное решение: Неявный метод Эйлера при k = 0 будет иметь вид (22) Стационарное решение: (23) Ковалец Я.А. 10

Ковалец Я.А. Экспериментальная часть 11

Ковалец Я.А. При этом - половина размерности задачи. Экспериментальная часть (26) 12

Ковалец Я.А. Собственные значения изменяются от до. Экспериментальная часть (изменение размерности задачи) Шаг Шаг

Ковалец Я.А. Собственные значения изменяются от до. Экспериментальная часть (изменение размерности задачи) Шаг Шаг

Ковалец Я.А. Собственные значения изменяются от до. Шаг: 1. Размерность задачи: 128. Экспериментальная часть (изменение количества членов в разложении) Неявный метод ЭйлераМетод установления 15

Ковалец Я.А. Собственные значения изменяются от до. Шаг: Размерность задачи: 128. Экспериментальная часть (изменение количества членов в разложении) Неявный метод ЭйлераМетод установления 16

представлен новый способ построения методов установления, не обремененных существенными ограничениями на шаг; показана неэффективность использования неявного метода Эйлера при неточном обращении матрицы; предложен эффективный способ построения ортогональных матриц произвольной размерности. Достоинства построенного метода: не требует ограничений на шаг; изменяя шаг, можно достичь более точного решения, чем в пакете Mathematica; при решении систем линейных алгебраических уравнений снижены требования к точности нахождения обратной матрицы. Заключение Ковалец Я.А. 17

Ковалец Я.А. 18