Лекция 6 Сечение поверхности плоскостью

Алгоритм решения задачи 1. Объекты ( и ) рассекают вспомогательной секущей плоскостью Г 2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждым из объектов 4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм 5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения Г b Г а ; a b A,B 3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям Г а b А B

Методические указания Плоскость, пересекающая поверхность, может занимать общее и частное положение относительно плоскостей проекций В общем случае вид сечения – кривая линия Сечение поверхности вращения плоскостью является фигурой симметричной. Ось симметрии фигуры сечения лежит в плоскости общей симметрии заданной поверхности и плоскости, при условии: - проходит через ось вращения поверхности; - перпендикулярности секущей плоскости Сечением многогранной поверхности является ломаная линия, вершины которой лежат на ребрах поверхности

2 1 При рассечении прямого кругового цилиндра плоскостями можно получить: 1- окружность, 2- эллипс, 3 – прямые линии Сечения прямого кругового цилиндра

Сечение сферы Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Окружность на плоскость проекций может проецироваться в натуральную величину (плоскость уровня), в виде отрезка, равного диаметру (проецирующая плоскость) и в виде эллипса (плоскость общего положения)

Ф1Ф1 Q2Q2 О1О1 О2О2 (1 1 ) При построении линии сечения сферы плоскостью частного положения Q(Q 2 ) прежде всего находим на П 2 проекции экстремальных точек. Это точки пересечения следа Q 2 с очерком сферы – 1 2 и 2 2. На П 1 проекции 1 1 и 2 1 располагаем на следе плоскости Ф 1 с учетом их видимости. 3 ПО.

С помощью плоскости Г(Г 2 ) зафиксируем совпадающие проекции точек (3 2 и 4 2) на пересечении Г 2 со следом заданной плоскости Q 2. Проекции 3 1 и 4 1 располагаем на горизонтальном очерке сферы – экваторе. Это будут точки изменения видимости линии сечения на П 1. Ф1Ф1 Q2Q2 О1О1 О2О (42)(42)3232 Г2Г (1 1 )

Экстремальные точки эллипса (высшую и низшую) находим, разделив пополам отрезок перпендикуляром, опущенным из точки О 2. В осно- вании перпендикуляра фиксируем две совпадающие проекции точек (5 2 и 6 2 ). На П 1 проекции 5 1 и 6 1 располагаем на параллели b 1 как невидимые. Ф1Ф1 Q2Q2 О1О1 О2О2 (1 1 ) (42)(42)3232 Г2Г b2b b1b1 2 (5 1 ) (6 1 ) (6 2 )5252

с1с1 Для уточнения формы кривой – эллипса находим промежуточные точки ( на чертеже не обозначены). Совпадающие точки фиксируем произвольно на следе Q 2 и переносим их на П 1 с помощью параллели с. Ф1Ф1 Q2Q2 О2О2 (1 1 ) 1212 (6 1 ) 2121 Г2Г2 b2b2 (5 1 ) (6 2 )5252 b1b1 2 с2с О1О1 (42)(42)3232

Объединяем все построенные на П 1 точки в линию (эллипс) с учетом ее видимости относительно сферы. Видимость линии будет меняться в точках 3 1 и 4 1, построенных заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи. Ф1Ф1 Q2Q2 с1с1 О2О2 (1 1 ) 1212 (6 1 ) 2121 Г2Г2 b2b2 (5 1 ) (6 2 )5252 b1b1 2 с2с (42)(42)3232 О1О1

На П 1 д ополняем построенную проекцию эллипса большой осью, проходящей через экстремальные точки 5 1 и 6 1. Показать натуральную линию сечения можно, применив преобразование чертежа – замену плоскости проекций Ф1Ф1 Q2Q2 с1с1 О2О2 (1 1 ) (6 1 ) 2121 Г2Г2 b2b2 (5 1 ) b1b1 2 с2с (42)(42)3232 О1О1 П2П2 x1x1 П4П4 П1П1 П2П2 x (6 2 ) О4О4

RcRc На дополнительной плоскости проекций П 4 линия сечения – окружность проецируется в натуральную величину. Ф1Ф1 Q2Q2 с1с1 О2О2 (1 1 ) (6 1 ) 2121 Г2Г2 b2b2 (5 1 ) b1b1 2 с2с (42)(42)3232 О1О1 П2П2 x1x1 П4П4 П1П1 П2П2 x О4О4 (6 2 )5252 RcRc 1212

1 Сечения прямого кругового конуса При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью в зависимости от ее расположения получаются: 1 – окружность; 2 – эллипс; 3 – парабола; 4 – гипербола; 5 – прямые линии

В сечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены различные геометрические образы В плоскости Г – точка, Δ – окружность, Θ – эллипс, Σ – гипербола, Ф – парабола, Ψ – одна прямая, Ω – две прямые.

1313 (4 3 ) Сечения конической поверхности вращения плоскостями S3S3 S2S2 Г2Г2 Δ2Δ2 Ф2Ф2 2 Ψ2Ψ2 Σ1Σ1 Ω1Ω1 S1S1 = m

Анализ расположения следа секущей плоскости относительно очерка конуса показывает, что линией сечения будет кривая 2-го порядка гипербола. 2 ПО.

Точки пересечения следа плоскости с фронтальным очерком являются экстремальными точками линии сечения, определяемыми плоскостями Г и Ф. Строим их на П3. 2 ПО.

Точки линии сечения 4 и 5, лежащие на профильном очерке конуса, являются точками изменения видимости на П3 и промежуточными на П1. 2 ПО.

Промежуточные точки (без обозначения) линии сечения строим с помощью плоскостей Г и Г. На П1 объединяем все точки в проекцию линии сечения. 2 ПО.

При объединении точек параболы на П3 следует учитывать её видимость относительно конуса. Видимость линии изменяется в точках 4 и 5, построенных в соответствии с алгоритмом решения. 2 ПО.