Построения в пространстве. геометрия 10

Две плоскости, имеющие одну общую точку (общую прямую) по А3 α β а α β = а

Три плоскости, имеющие две общие точки (т.е. общую прямую) α β γ = а α β γ а

Три плоскости, имеющие одну общую точку. α β γ О α β γ = О

Три попарно пересекающиеся прямые I случайII случай Лежат в одной плоскости Не лежат в одной плоскости

Плоскость α пересекается с плоскостью β, плоскость β пересекается с плоскостью γ. Плоскости α и γ не имеют общих точек. α β γ

Треугольник АВС и четырехугольник АСОР не лежат в одной плоскости. А В С О Р α β

Стороны треугольника АВС АВ и ВС пересекают плоскость α в точках Р и Н соответственно. α В А С Р Н (АВС) α = РН

Вершина В треугольника АВС не лежит в плоскости α, а прямая АС лежит в α. α В А С (АВС) α = АС

Прямая а параллельна стороне АВ треугольника АВС и не лежит в плоскости треугольника. А В С а α

Признак скрещивающихся прямых α а b О b α а α = О О b а b

Признак параллельности прямой и плоскости. α а b ab b α aα

Скрещивающиеся прямые. Доказательство через признак. А В А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 С D Дано: АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Доказать: А 1 В 1 СС 1 Доказательство: А 1 В 1 (А 1 В 1 С 1 ) СС 1 (А 1 В 1 С 1 ) = С 1 С 1 А 1 В 1

Скрещивающиеся прямые. Доказательство от противного. А В А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 С D Дано: АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Доказать: А 1 В 1 СD 1 Доказательство: 1. А 1 В 1 С 1 D 1 С 1 D 1 (CC 1 D 1 ) А 1 В 1 (CC 1 D 1 ) 3. Предположим, что СD 1 А 1 В 1. C 1 D 1 CD 1 = D 1. Значит, через точку D 1 поведены две прямые, параллельные прямой А 1 В 1. Это противоречит аксиоме о параллельных, следовательно СD 1 А 1 В 1 2. СD 1 (CC 1 D 1 ), значит СD 1 А 1 В 1 или СD 1 А 1 В 1