Специальные методы решения квадратных уравнений Выполнил...

Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и его корнями.

3)х²+6х+5=0, а=1, b=6, с=5, а+c=b, x=-1, x=-5. 1)х²+4х-5=0, а=1, b=5, с=-5, а+b+c=0, x=1, x=-5. 2)2х²-5x+3=0, a=2, b=-5, c=3, a+b+c=0, x=1, x=3/2 4)3х²+2x-1=0, a=3, b=2, c=-1, а+c=b, x=-1, x=1/3

При решении уравнения ax²+bx+c=0 (a0) можно пользоваться следующими правилами. 1. Если а+b+c=0, то х=1, х=с/а 2. Если a+c=b, то х=-1, х=-с/а

Докажем утверждение 1. Разделим обе части уравнения на(a0): x²+(b/a)х+(c/a)=0. По теореме Виета х 1 +х 2 =-b/a, х 1 *х 2 =c/a. Так как а+b+c=0, то b=-a-c, тогда х 1 +х 2 =-(-а-с)/а=1+c/a, х 1 *х 2 =1*c/a значит, х 1 =1, х 2 =c/a Утверждение 2 доказывается аналогично.

Задание (устно). Найдите корни уравнения: а) 3х²-8x+5=0; б) 2х²+3х+1=0; в) 5х²-9х-14=0; г) -х²+4х-3=0. Другой метод решения квадратных уравнений – метод «переброски» старшего коэффициента. Умножим обе части уравнения ax²+bx+c=0 на (a0): a²x²+bax+ca=0. Пусть ах=у, тогда получим уравнение у²+by+ca=0. Корни у 1 и у 2 уравнения найдем по теореме, обратной теореме Виета. Так как ах 1 =у 1, ах 2 =у 2, то х 1 =у 1 /а, х 2 =у 2 /а

Пример. Решите уравнение 2х²-11х+15=0. Решение: Умножим обе части уравнения на 2: 2²*х²-2*11х+2*15=0. Пусть 2х=у, тогда у²-11у+30=0. Корни уравнения: у 1 =5, у 2 =6. Тогда 2х 1 =5, 2х 2 =6, откуда х 1 =5/2, х 2 =3. Замечание. Данный метод подходит для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами. В некоторых случаях он позволяет решить уравнение устно.

Задание на дом. Решите уравнение, выбрав один из специальных методов решения квадратных уравнений: а) 3х²-5x+2=0 б) 1907х²-101x-2008=0