Параллельные прямые в пространстве; Признак параллельности прямых; Параллельность прямой и плоскости; Параллельность плоскостей; Свойства параллельных плоскостей; Изображение пространственных фигур на плоскости;

Две прямые в пространстве называются ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ,если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. ТЕОРЕМА:Через точку вне данной прямой можно провести прямую,параллельную этой прямой,и притом только одну. Док-во:Пусть а- данная прямая и А- точка,не лежащая на этой прямой.Проведем через прямую а и точку А плоскость а.Проведем через точку А в плоскости h прямую а 1,параллельная а,единственна.Допустим,что а 2,проходящая через А и параллельна а.Через а и а 2 можно провести плоскость h 2.Плоскость h 2 проходит через а и А;следовательно,по т.1.1 она совпадает с h. По аксиоме параллельных прямые а 1 и а 2 совпвдают.

ТЕОРЕМА: Две прямые,параллельные третьей прямой,параллельны. ДОК-ВО:Пусть b и c параллельны а.Докажем,что b и с параллельны.Пусть k-плоскость,в которой лежат a и b,h- плоскость,в которой лежат а и с.Плоскости k и h различны.Отметим на k точку В и проведём плоскость h 1 через с и В.Она пересечёт k по прямой b 1. Прямая b 1 не пересекает h.Точка пересечения должна принадлежать прямой а,т.к. прямая b 1 лежит в плоскости k. Т.к. прямая b 1 лежит в плоскости k и не пересекает прямую а,то она параллельна а,а значит,совпадает с b по аксиоме параллельных.Прямая b,совпадая с прямой b 1,лежит в одной плоскости с прямой с и не пересекает её.Значит b и с параллельны. b h h1h1 b1b1 k с а В

ТЕОРЕМА: Две плоскости параллельны, если одна из них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости ДОК-ВО: Пусть k и h – данные плоскости и b 1.b 2 – две пересекающиеся прямые в плоскости h, параллельные плоскости k. Плоскости k и h, различны. Допустим, что они пересекаются по некоторой прямой с. Прямые b 1 и b 2 не пересекают плоскость k; следовательно не пересекают прямую с этой плоскости. Но это возможно по аксиоме параллельных, т.к. лежащие в плоскости h пересекающиеся прямые b 1 и b 2 параллельны одной и той же прямой с. Мы пришли к противоречию. k b1 b2с h

ТЕОРЕМА:Если две параллельные плоскости пересекаются третьей,то прямые пересечения параллельны. ДОК-ВО:Согласно определению параллельные прямые- это прямые,которые лежат в одной плоскости – секущей плоскости.Они не пересекаются,так как не пересекаются содержащие их параллельные плоскости. Значит,прямые параллельны.Теорема доказана.

ТЕОРЕМА:Через точку плоскости можно провести плоскость,параллельную данной, и притом только одну. b1 а1 а b h k.k.k.k. b2 a 2

Отрезки параллельных прямых,заключённые между двумя параллельными плоскостями,равны. а В1 b А1 А2 В2 а2 а1

1 СВОЙСТВО:Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками. А А1 В В1h

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками. А А1 В1 В3 В2 А2 А3 В h

Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании. А В А1 А2 В1 h К К2 К1

Геометрия 6-10 класс А.В.ПОГОРЕЛОВ