Разложение на множители.

Что называют разложением многочлена на множители? a 2 – 5ab = a 2 – 25 = a 2 – 36 = Разложите на множители а(а – 5b) (a – 5) (а + 5) (a – 6) (а + 6)

8 – a 3 = x = a 3 – 25а = а(а + 4b)a 2 + 4ab = (2 – a)(4 + 2а + a 2 (х + 4)(х 2 – 4х + 16) а(а – 5)(а + 5) Разложите на множители

Способы разложения на множители Вынесение общего множителя за скобки Способ группировки С помощью формул сокращенного умножения Последовательно несколько способов

Решите уравнения (х – 2)(х + 2) = 0 Х= 2 и х = - 2 Ответ: - 2; 2

х 2 – 16 = 0 (х – 4)(х + 4) = 0 х = 4 и х = - 4 Ответ: - 4; 4

х х + 25 =0 (х + 5) 2 = 0 х = - 5 Ответ: - 5

9х – х 3 = 0 х(9-х 2 ) = 0 х(3 – х)(3 + х) = 0 х = 0 или 3 – х = 0 или 3 + х = 0 х = 0 или х = 3 или х = - 3

Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Найдите значение числового выражения Самое эффективное решение – дважды воспользоваться формулой разности квадратов: (53-47)(53+47) (61-39)(61+39) = == 6 22 = 3 11

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов 1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем Вынесение общего множителя за скобки

2.Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. 3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который выносят за скобки.

Разложить на множители: -x 4 y 3 -2x 3 y 2 +5x 2. Воспользуемся сформулированным алгоритмом. Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1. Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x 2.

Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x 2, в данном случае целесообразнее вынести -x 2. -x 4 y 3 -2x 3 y 2 +5x 2 =-x 2 (x 2 y 3 +2xy 2 -5) Получим:

Способ группировки Рассмотрим пример: разложите на множители многочлен х 3 +х 2 у– 4у – 4х = (х 2 +х 2 у) – (4х+4у) = = х 2 (х + у) – 4(х + у) = х + у)(х 2 – 4) = (х + у)(х 2 – 4) =(х + у)(х – 2)(х + 2)

bx 2 + 2b 2 – b 3 – 2x 2 =(bx 2 – b 3 ) – (2x 2 –2b 2 )= = b(x 2 – b 2 ) –2(x 2 – b 2 ) =(b – 2)(x 2 – b 2 ) = (b – 2)(x – b)(x + b) Способ группировки

Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения Вспомните эти формулы: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b);a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2.

Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; Последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений. a 2 -b 2 =(a-b)(a+b); a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ); a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ); a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 ; a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2.

Воспользовались формулой суммы кубов. а b 3 =(a 2 ) 3 + (3b) 3 = = (a 2 + 3b)(a 4 – 3a 2 b + 9b 2 )

Х 2 4 0,8ху + 0,16у 2 Х 2 2 = 2 ·2 · 1 2 х · 0,4у + (0,4у) 2 = Х2Х2 0,4у 2 = Воспользовались формулой квадрата разности.

Воспользовались формулой разности квадратов. х 6 – 4а 4 = = (х 3 ) 2 – (2а 2 ) 2 = (х 3 – 2а 2 ) (х 3 + 2а 2 )

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a 6, a 4, a 2 ), поэтому за скобки можно вынести a 2. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b 3, b 4, b 5 ) – за скобки можно вынести b Разложить на множители многочлен 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5

1)Итак, за скобки вынесем 4a 2 b 3. Тогда получим: 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2 b+16b 2 ) 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a 4 -24a 2 b+16b 2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем: 9a 4 -24a 2 b+16b 2 =(3a 2 ) 2 +(4b) 2 -2·3a 2 ·4b.

Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно, 9a 4 -24a 2 b+16b 2 = 3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат: (3a 2 -4b) 2. 36a 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 =4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2.

2. Разложить на множители x 4 +x 2 a 2 +a 4 Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим x 2 a 2 в виде 2x 2 a 2 -x 2 a 2. Получим: (x 2 +a 2 ) 2 -(xa) 2 = x 4 +x 2 a 2 +a 4 =x 4 +2x 2 a 2 -x 2 a 2 +a 4 = = (x 4 +2x 2 a 2 +a 4 )-x 2 a 2 = = (x 2 +a 2 +xa) · (х 2 + а 2 – ха)

3. Разложить на множители n 3 +3n 2 +2n Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n 2 +3n+2). Теперь к трехчлену n 2 +3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:

Окончательно получаем: n 2 +3n+2=n 2 +2n+n+2 = = (n 2 +2n)+(n+2) = n(n+2)+(n+2) = = (n+2)(n+1). n(n+1)(n+2). n 2 +3n+2=

Номер варианта Номер примера Iбваваа IIабвавв Ответы

До новых встреч!

Спасибо!