Применения производной к исследованию функций Применения производной к исследованию функций

Оглавление Схема исследования функций; Схема исследования функций; Признак возрастания (убывания) функции: Признак возрастания (убывания) функции: Достаточный признак возрастания функции; Достаточный признак возрастания функции; Достаточный признак убывания функции; Достаточный признак убывания функции; Критические точки функции: Критические точки функции: Необходимое условие экстремума; Необходимое условие экстремума; Признак максимума функции; Признак максимума функции; Признак минимума функции. Признак минимума функции.

Схема исследования функций Найти области определения и значений данной функции f. Найти области определения и значений данной функции f. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат. Найти промежутки знакопостоянства функции f. Найти промежутки знакопостоянства функции f. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает. Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках. Найти точки и вид экстремума и вычислить значения f в этих точках. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения.

Признак возрастания (убывания) функции Признак возрастания (убывания) функции

Достаточный признак возрастания функции. Если f´ (x) > 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I. Достаточный признак убывания функции. Если f´ (х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция убывает на I.

Доказательство признака возрастания (убывания) функции Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа: Доказательство проводится на основании формулы Лагранжа: f´

Пример нахождения промежутков возрастания (убывания) функции Дано: f (x) = -2x + sin x Найти: промежутки возрастания (убывания) функции Решение Функция определена на всей числовой прямой. Найдем f´ (x). f´ (x) = -2 + cos x. | cos x | 1 => f´ (x) < 0 для всех действительных х. Вывод: f (x) = -2x + sin x убывает на всей числовой прямой

Критические точки функции, максимумы и минимумы Критические точки функции, максимумы и минимумы

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма) Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х 0 ) = 0 Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f´, то она равна нулю: f´(х 0 ) = 0

Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума. Из того, что производная в точке х 0 обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Примеры критических точек, в которых производная не существует

Признак максимума функции Если функция f непрерывна в точке х 0, а f´ (х) > 0 на интервале (а; х 0 ) и f´ (х) 0 на интервале (а; х 0 ) и f´ (х) < 0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой максимума функции f. Упрощённая формулировка признака: Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума. Если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума.

Признак минимума функции Если функция f непрерывна в точке х 0, f´ (х) 0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f. Если функция f непрерывна в точке х 0, f´ (х) 0 на интервале (х 0 ; b), то точка х 0 является точкой минимума функции f. Упрощённая формулировка признака: Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка максимума. Если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка максимума.

Пример нахождения точек экстремума функции Дано: f (x) = 3x – x 3 Найти: Точки экстремума функции Решение Найдём производную функции: f´ (x) = 3 – 3х 2 f´ (x) = 0, при х = 1 и х = -1 f´ (x) 0 при -1 < х < 1, т.е. в точках -1 и 1 функция меняет знак. По признакам максимума и минимума точка -1 является точкой минимума, а точка 1 точкой максимума.

Проект выполняла Сергеева Вероника, ученица 11 класса, с использованием следующих материалов: Алгебра и начала анализа. Учебник для классов средней школы. Алгебра и начала анализа. Учебник для классов средней школы.