Логические операции и таблицы истинности Учитель информатики Поборцева Елена Валентиновна

КОНЪЮНКЦИЯ F = A & B. F = A & B. Логическое умножение Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. КОНЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным только тогда, когда истинны оба исходных простых выражения. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И. Конъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза И. ABF

Примеры: 10 делится на 2 и 5 больше 3 10 делится на 2 и 5 больше 3 10 не делится на 2 и 5 больше 3 10 не делится на 2 и 5 больше 3 10 делится на 2 и 5 не больше 3 10 делится на 2 и 5 не больше 3 10 не делится на 2 и 5 не больше 3 10 не делится на 2 и 5 не больше 3 F=A&B F=A&B Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения. Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения.

ДИЗЪЮНКЦИЯ F = A + B F = A + B Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Логическое сложение – ДИЗЪЮНКЦИЯ - это новое сложное выражение будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) выражений. Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ Дизъюнкция определяет соединение двух логических выражений с помощью союза ИЛИ ABF

Примеры: 10 делится на 2 или 5 больше 3 10 делится на 2 или 5 больше 3 10 не делится на 2 или 5 больше 3 10 не делится на 2 или 5 больше 3 10 делится на 2 или 5 не больше 3 10 делится на 2 или 5 не больше 3 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 10 не делится на 2 или 5 не больше 3 F=A V B Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения. Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения.

ИНВЕРСИЯ Логическое отрицание : ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Логическое отрицание : ИНВЕРСИЯ - если исходное выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то результат отрицания будет истинным/ Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО Данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО A _ _ F = A 10 01

Пример: Пример: Луна спутник Земли (А). Луна спутник Земли (А). Луна не спутник Земли (не A) Луна не спутник Земли (не A) _ F= A

Логическое следование (импликация) Логическое следование (Импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «если… то…». Логическое следование (Импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «если… то…». Импликация записывается как посылка следствие; (остриё всегда указывает на следствие). Импликация записывается как посылка следствие; (остриё всегда указывает на следствие). F = A B, составное высказывание, образованное с помощью операции: логическое следование (импликация) F = A B, составное высказывание, образованное с помощью операции: логическое следование (импликация) Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами: Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами: Суждение 1. Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия; 1. Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;условием 2. Следствие является условием, необходимым для истинности посылки. 2. Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

"Житейский" смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: Для более лёгкого понимания смысла импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А начальник. Он может приказать "работай" (1) или сказать "делай что хочешь" (0). А начальник. Он может приказать "работай" (1) или сказать "делай что хочешь" (0). В подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация не что иное, как послушание подчиненного начальнику. В таком случае импликация не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

ИМПЛИКАЦИЯ Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ - связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В)– следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно. Обозначается A B символом "следовательно" и Обозначается A B символом "следовательно" и выражается словами ЕСЛИ …, ТО … выражается словами ЕСЛИ …, ТО … ABF

Примеры: Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность Если данный четырёхугольник квадрат, то около него нельзя описать окружность Если данный четырёхугольник квадрат, то около него нельзя описать окружность Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него нельзя описать окружность A B A B Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения. Задание: Определить, чему будет равно значение F для каждого выражения.

Порядок выполнения логических операций 1. инверсия 1. инверсия 2. конъюнкция 2. конъюнкция 3. дизъюнкция 3. дизъюнкция 4. импликация 4. импликация Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки. Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

Пример задания 1: Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: XYZF ) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z3) X Y Z 4) ¬X ¬Y ¬Z Какое выражение соответствует F? Какое выражение соответствует F?

Решение : нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F

первое выражение, равно 1 только при X=Y=Z=0, поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит) первое выражение, равно 1 только при X=Y=Z=0, поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит) второе выражение, равно 1 только при X=Y=Z=1, поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят) второе выражение, равно 1 только при X=Y=Z=1, поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят) третье выражение, равно нулю при X=Y=Z=0, поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит) третье выражение, равно нулю при X=Y=Z=0, поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит) наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда X=Y=Z=1, а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности наконец, четвертое выражение, равно нулю только тогда, когда X=Y=Z=1, а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности таким образом, правильный ответ – 4 таким образом, правильный ответ – 4 XYZF ) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z 3) X Y Z 4) ¬X ¬Y ¬Z

Пример задания 2: Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: XYZF Какое выражение соответствует F? 1) ¬X ¬Y ¬Z 2) X Y Z3) X ¬Y ¬Z4) X ¬Y ¬Z

Решение : В столбце F есть единственная единица для комбинации X=1, Y=Z=0, простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид, она есть среди приведенных ответов (ответ 3) В столбце F есть единственная единица для комбинации X=1, Y=Z=0, простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид, она есть среди приведенных ответов (ответ 3) таким образом, правильный ответ – 3. таким образом, правильный ответ – 3.

Пример задания 3: Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F? Какое выражение соответствует F? XYZF ) (X ¬Y) Z 2) (X Y) ¬Z 3) X (¬Y Z)4) X Y ¬Z

Ответ к заданию 3: Найди правильный ответ: Найди правильный ответ: 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4