Виды показательных уравнений Шарабарина Галина Гавриловна, учитель математики МБОУ « Солоновская средняя общеобразовательная школа имени Матренина А.П.»Алтайский край, Смоленский район 11 класс

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное (x) входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях. Для показательных уравнений выполнено следующее утверждение: Уравнения a f(x) = a g(x) (a>0, a) и f(x) = g(x) эквивалентны. Это утверждение используется при решении простейших уравнений. I. Простейшие уравнения Пример 1 Пример 2 5 x-2 =3 3 x+2 = 3 x+2=1 x-2 = log 3 5x = -1 x=2+ log 3 5Ответ x = -1

Прийти к простейшим уравнениям можно путем тождественным преобразованиям. Пример 3 0,5 3x-1 = (1/2) 3x-1 = (2 4 ) -2 (2 -1 ) 3x-1 = x+1 = x+1 = -8 -3x = -9 x =3 Ответ: x =3 Ответ: Пример 4

II. Уравнения, решаемые способом замены переменных Пример 5 Пусть, тогда t 2 -4t+3 =0 t 1 =1, t 2 =3 x 2 =1 x 2 =0 x = 0 Ответ x = 0,

Пример 6 1 способ Пусть 7 x = t, t>0, тогда 49t – t – 2t + 2t =48 48t = 48 t =1, 7 x = 1 7 x = 7 0 x = 0 Ответ: x = 0

2 способ (более рациональный, вынесением общего множителя) 7 x *48 = 48 7 x = 1 7 x = 7 0 x = 0

Пример 7 Пусть, 5a 2 - 7a + 2 = 0 a = 1, a = 2/5 – не удовлетворяет условию cos 2 x = 0 cosx = 0

Пример 8 (5+2 ) x + (5 – 2 ) x = 10 Заметим (5+2 ) x (5 – 2 ) x = 25 – 24 = 1, следовательно (5 – 2 ) x = (5+2 ) -1 (взаимно обратные числа) (5+2 ) x + (5+2 ) -x = 10 Пусть (5+2 ) x = t, t>0 t+1/t=10t 2 -10t + 1 = 0 t 1 = 5+2t 2 = 5 – 2 (5+2 ) x = 5+2 (5+2 ) x = 5 – 2 x = 1x = -1 Ответ:

III. Однородные уравнения Пример 9 2 2x+2 – 6 x – 2*3 2x+2 = 0 2 2x * 4 – 2 x * 3 x – 2*9*3 2x = 0 Пусть (3/2)x = t,t > 0

4 – t – 18t 2 = 0 -8t 2 – t + 4 = 0 D = 289 t 1 = -1/2,не удовлетворяет условию t > 0 t 2 = 4/9 x = -2 Ответ:x = -2

Определи к какому виду относятся следующие показательные уравнения и реши их