Окружность Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости … удаленных от данной точки на данное расстояние. Данная точка называется …центром окружности, а данное расстояние – …радиусом окружности.

Круг Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости … удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное. Данная точка называется …центром круга, а данное расстояние – …радиусом круга.

Хорда и диаметр Хордой называется отрезок, … соединяющий произвольные две точки окружности. Диаметром называется хорда, проходящая через центр окружности.

Теорема Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Доказательство: Пусть дана окружность с центром в точке О, диаметр АВ перпендикулярен хорде CD. Если хорда CD проходит через центр О, то она является диаметром и делится в точке О пополам. Пусть хорда CD не проходит через центр О. Обозначим точку ее пересечения с диаметром АВ через Е. Треугольники ОЕС и ОЕD равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, ЕC = ЕD.

Вопрос 1 Какая фигура называется окружностью? Ответ: Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние.

Вопрос 2 Какая фигура называется кругом? Ответ: Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное.

Вопрос 3 Что называется: а) хордой; б) диаметром окружности? Ответ: а) Хордой называется отрезок, соединяющий произвольные две точки окружности; б) хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Вопрос 4 Чем является наибольшая хорда окружности? Ответ: Диаметром.

Вопрос 5 В каком отношении делит диаметр, перпендикулярную ему хорду? Ответ: 1:1.

Упражнение 1 Какому неравенству удовлетворяют точки A, лежащие: а) в круге с центром в точке О и радиусом R; б) вне этого круга? Ответ: а) OA R; б) OA > R.

Упражнение 2 Сколько диаметров можно провести через центр окружности? Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 3 Сколько окружностей может проходить через две заданные точки? Ответ: Бесконечно много.

Упражнение 4 Сколько окружностей проходит через три заданные точки, принадлежащие одной прямой? Ответ: Ни одной.

Упражнение 5 Найдите диаметр окружности, если известно, что он на 55 мм больше радиуса. Ответ: 110 мм.

Упражнение 6 Найдите длину наибольшей хорды в окружности, радиус которой равен 5 см. Ответ: 10 см.

Упражнение 7 Расстояние между точками A и B равно 2 см. Найдите наименьший возможный радиус окружности, проходящей через эти точки. Ответ: 1 см.

Упражнение 8 Точка A расположена вне окружности радиуса R и удалена от центра O этой окружности на расстояние d. Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки A до точек данной окружности? Ответ: d – R; R + d.

Упражнение 9 Точка A расположена внутри окружности радиуса R и удалена от центра O этой окружности на расстояние d. Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки A до точек данной окружности? Ответ: R – d; R + d.

Упражнение 10 Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 20 см. Найдите радиус данной окружности. Ответ: 15 см.

Упражнение 11 Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 20 см и 4 см. Найдите радиус данной окружности. Ответ: 12 см.

Упражнение 12 На рисунке изображена фигура, называемая кольцом. Сформулируйте определение этой фигуры. Ответ: Кольцом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее одного данного расстояния и большее или равное другого данного расстояния.

Упражнение 13 Отрезки АВ и CD - диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см. Ответ: 29 см.

Упражнение 14 Какую фигуру образуют центры окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку? Ответ: Окружность.

Упражнение 15 Какую фигуру образуют центры всех окружностей, проходящих через две данные точки? Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему данные точки.

Упражнение 16 Верно ли следующее утверждение: «Равные хорды окружности одинаково удалены от ее центра»? Ответ: Да. Пусть AB = AB. Треугольники AOB и AOB равны. Следовательно, равны и их высоты: OH = OH.

Упражнение 17 В окружности на равном расстоянии от центра проведены хорды AB и CD. Чему равна хорда AB, если хорда CD равна 8 см? Ответ: 8 см.

Упражнение 18 В окружности проведены две равные хорды, одна из которых удалена от центра на 2 см. На каком расстоянии от центра находится другая хорда? Ответ: 2 см.

Упражнение 19 Найдите внутри окружности точку, через которую можно провести бесконечно много равных хорд. Ответ: Центр окружности.

Упражнение 20 Какой длины должны быть две хорды окружности радиуса R, чтобы при любом их положении они пересекались? Ответ: 2R.