Геометрические места точек Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам. Примерами геометрических мест точек являются: окружность – ГМТ, удаленных от данной точки на данное расстояние; круг – ГМТ, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее данное.

Упражнение 1 Пусть O – точка плоскости. Изобразите ГМТ X, для которых выполняются неравенства r OX R. Ответ: Кольцо

Упражнение 2 На данной прямой a найдите точки, удаленные от данной точки C на заданное расстояние R. Какие при этом возможны случаи? Ответ: Точки пересечения прямой a и окружности с центром в точке C и радиусом R. Получаются две, одна или ни одной точки в зависимости от того, расстояние от точки C до прямой a больше R, равно R или меньше R соответственно.

На прямой c отметьте точки, удаленные от точки A на расстояние, равное (стороны квадратных клеток равны 1). Упражнение 3

Пересечение фигур Пусть Ф 1 и Ф 2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф 1 и фигуре Ф 2, называется пересечением фигур Ф 1 и Ф 2 и обозначается Ф 1 Ф 2.

Упражнение 4 Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух кругов с центрами в точках O 1, O 2 и радиусами R 1, R 2. Даны две точки O 1 и O 2. Найдите ГМТ X, для которых XO 1 R 1 и XO 2 R 2. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.

Объединение фигур Пусть Ф 1 и Ф 2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф 1 или фигуре Ф 2, называется объединением фигур Ф 1 и Ф 2 и обозначается Ф 1 Ф 2.

Упражнение 5 Даны две точки O 1 и O 2. Найдите ГМТ X, для которых XO 1 R 1 или XO 2 R 2. Объединением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух кругов с центрами в точках O 1, O 2 и радиусами R 1, R 2.

Разность фигур Пусть Ф 1 и Ф 2 – фигуры на плоскости. Фигура Ф, состоящая из всех точек, принадлежащих фигуре Ф 1 и не принадлежащих фигуре Ф 2, называется разностью фигур Ф 1 и Ф 2 и обозначается Ф 1 \ Ф 2.

Упражнение 6 Ответ: Искомое ГМТ является разностью двух кругов с центрами в точках O 1, O 2 и радиусами R 1, R 2. Даны две точки O 1 и O 2. Найдите ГМТ X, для которых XO 1 R 1 и XO 2 R 2. Разностью каких фигур является искомое ГМТ.

Серединный перпендикуляр Серединным перпендикуляром к заданному отрезку называется … Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка. прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и точка О – его середина. Очевидно, точка О одинаково удалена от точек А, В и принадлежит серединному перпендикуляру. Пусть точка С одинаково удалена от точек А и В и не совпадает с точкой О. Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру и не совпадает с О, тогда прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС. Тогда треугольник АВС равнобедренный и СО – медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру.

Упражнение 7 Постройте геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B.

На прямой c отметьте точку C равноудаленную от точек A и B. Упражнение 8

Упражнение 9 Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки. Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему две данные точки.

Упражнение 10 Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB. Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB без середины этого отрезка.

Упражнение 11 Пусть А и В - точки плоскости. Найдите геометрическое место точек С, для которых АС ВС. Ответ: Полуплоскость, определяемая серединным перпендикуляром к отрезку AB, содержащая точку A;

Упражнение 12 Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Найдите геометрическое место точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет? Ответ: Часть прямой c, лежащая внутри полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром к отрезку AB и точкой A. Если прямая c целиком лежит в полуплоскости, определяемой серединным перпендикуляром и точкой B, то таких точек нет.

Упражнение 13 Даны три точки: А, В, С. Найдите точки, которые одинаково удалены от точек А и В и находятся на расстоянии R от точки С. Ответ: Точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AB и окружности с центром в точке C и радиусом R.

Упражнение 14 Ответ: Искомое ГМТ является пересечением круга и полуплоскости. Даны две точки A и B. Найдите ГМТ C, для которых CA CB AB. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ.

Упражнение 15 Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX и BX CX. Пересечением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является пересечением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

Упражнение 16 Даны три точки A, B, C. Найдите ГМТ X, для которых AX BX или BX CX. Объединением каких фигур является искомое ГМТ. Ответ: Искомое ГМТ является объединением двух полупространств, определяемых серединными перпендикулярами к отрезкам AB и BC.

Биссектриса угла Теорема. Биссектриса угла является ГМТ, лежащих внутри этого угла и одинаково удаленных от его сторон. Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b. Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла. Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

Постройте геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон. Упражнение 17

На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB. Упражнение 18

Упражнение 19 Что является геометрическим местом центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых? Ответ: Биссектрисы углов, образующихся при пересечении данных прямых, без точки пересечения этих прямых.

Упражнение 20 Ответ: а) Точки, принадлежащие биссектрисам четырех углов, образованных данными прямыми; б) внутренности двух вертикальных углов, образованных биссектрисами. Пусть a и b - пересекающиеся прямые. Найдите геометрическое место точек: а) одинаково удаленных от a и b; б) расположенных ближе к a, чем к b.

Упражнение 21 На прямой c, пересекающей стороны угла, найдите точку C, одинаково удаленную от этих сторон. Ответ: Точка пересечения данной прямой с биссектрисой данного угла.

Упражнение 22 Дан угол АOB и точки M, N на его сторонах. Внутри угла найдите точку, одинаково удаленную от точек M и N и находящуюся на одинаковом расстоянии от сторон угла. Ответ: Точка пересечения серединного перпендикуляра к MN с биссектрисой угла.