Прямоугольник Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. Теорема (Признак прямоугольника.) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Ромб Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом. Теорема. (Признак ромба.) Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.

Квадрат Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом. Можно сказать, что квадратом является ромб, у которого все углы прямые.

Упражнение 1 Из точки D, принадлежащей гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, проведены две прямые, параллельные катетам. Сумма периметров получившихся треугольников AKD и DLB равна 10 см. Найдите периметр данного треугольника ABC. Ответ: 10 см.

Упражнение 2 Два равных прямоугольных треугольника приложили один к другому таким образом, что их гипотенузы совпали, а неравные острые углы приложились один к другому. Какой при этом получился четырехугольник? Ответ: Прямоугольник.

Упражнение 3 Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см, диагонали пересекаются под углом 60 о. Найдите диагонали прямоугольника. Ответ: 10 см.

Упражнение 4 В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 1:2, меньшая его сторона равна 5 см. Найдите диагонали данного прямоугольника. Ответ: 10 см.

Упражнение 5 Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из его сторон. Какие углы образуют диагонали со сторонами прямоугольника? Ответ: 30 о и 60 о.

Упражнение 6 Тупой угол между диагоналями прямоугольника равен 120. Чему при этом будет равно отношение его меньшей стороны к диагонали? Ответ: 1:2.

Упражнение 7 Существует ли четырехугольник, не являющийся прямоугольником, диагонали которого были бы равны? Ответ: Да.

Упражнение 8 Верно ли утверждение о том, что если в четырехугольнике один угол прямой, а диагонали равны, то он является прямоугольником? Ответ: Нет.

Упражнение 9 В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH, равная 3 см. Из точки H опущены перпендикуляры HK и HL на катеты треугольника. Найдите расстояние между точками K и L. Ответ: 3 см.

Упражнение 10 Найдите диагонали прямоугольника, если его периметр равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ разделила прямоугольник, равен 30 см. Ответ: 13 см.

Упражнение 11 В прямоугольнике острый угол между его диагоналями равен 50 о. Найдите углы, которые образуют диагонали со сторонами прямоугольника. Ответ: 25 о и 65 о.

Упражнение 12 Перпендикуляр BH, опущенный из вершины B прямоугольника ABCD на его диагональ AC, делит угол B в отношении 2:3. Найдите: а) углы, которые образуют диагонали данного прямоугольника с его сторонами; б) угол между перпендикуляром BH и диагональю BD. Ответ: а) 36 о и 54 о ;б) 18 о.

Упражнение 13 Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересекаемую ею сторону на отрезки 4 см и 5 см. Найдите стороны данного прямоугольника. Ответ: 4 см и 9 см.

Упражнение 14 Чему равна меньшая диагональ ромба со стороной а и острым углом в 60 о ? Ответ: a.

Упражнение 15 В ромбе одна из диагоналей равна его стороне. Найдите углы ромба. Ответ: 60 o, 120 o, 60 o, 120 o.

Упражнение 16 Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как 4:5. Найдите углы ромба. Ответ: 80 o, 100 o, 80 o, 100 o.

Упражнение 17 Чему равен угол между: а) диагоналями квадрата: б) диагональю и стороной квадрата? Ответ: а) 90 o ; б) 45 o.

Упражнение 18 В квадрате расстояние от точки пересечения диагоналей до одной из его сторон равно 5 см. Найдите периметр этого квадрата. Ответ: 40 см.