Вписанная окружность

Определение: о кружность называется вписанной в треугольник, если все стороны треугольника касаются окружности. На каком рисунке окружность вписана в треугольник: 1) 2) 3) 4) 5) Если окружность вписана в треугольник, то треугольник описан около окружности.

Теорема. В треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр – точка пересечения биссектрис треугольника. Доказать: существует Окр.(О;r), вписанная в треугольник Дано: АВС Доказательство: Проведём биссектрисы треугольника:АА 1, ВВ 1, СС 1. По свойству (замечательная точка треугольника) биссектрисы пересекаются в одной точке – О, и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника, т. е : ОК = ОЕ = ОР, где ОК АВ, ОЕ ВС, ОР АС, значит, О – центр окружности, а АВ, ВС, АС – касательные к ней. Значит, окружность вписана в АВС. А В С О С1С1 А1А1 В1В1 Р К Е

Важная формула Доказать:S ABC = p · r Дано: Окр.(О;r) вписана в АВС, р = ½ (АВ + ВС + АС) – полупериметр. О В А С r r r Доказательство: Эти радиусы являются высотами треугольников АОВ, ВОС, СОА. соединим центр окружности с вершинами треугольника и проведём радиусы окружности в точки касания. S ABC = S AOB +S BOC + S AOC = ½ AB · r + ½ BC · r + ½ AC · r = = ½ (AB + BC + AC) · r = ½ p · r.

Задача: в равносторонний треугольник со стороной 4 см вписана окружность. Найдите её радиус. а r S = = P = ½ ·4 · 3 = ½ · 12 = 6(см) - полупериметр r r = (см) Решение: S = p · r и (см) Ответ:

r a b c r = S = p · r = ½ P · r = ½ (a + b + c) · r 2S = (a + b + c) · r Вывод формулы для радиуса вписанной в треугольник окружности

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность, гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см. Найдите радиус вписанной окружности. Решение: АВ = АМ + ВМ = = 10(см) Т. к. Окр.(O;r) вписана в АВС, то АВ, АС,ВС – касательные и по свойству касательных, проведённых из одной точки: АМ = АК = 6 см, ВЕ = ВМ = 4 см, СК = СЕ Т. к. С = 90 0, то СКОЕ – квадрат, поэтому СК = СЕ = r. Дано: АВС, С = 90 0 Окр.(О;r) вписана, АМ = 6 см, ВМ = 4 см Найти: r. По теореме Пифагора: АС 2 + ВС 2 = АВ 2, АС= 6+ r, ВС = 4 + r (6 + r) 2 + (4 + r) 2 = 10 2 Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см М К Е 6 4 С А В О r r r Ответ: 2 см

Нужная формула для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник - катеты, с - гипотенуза Доказательство: СКОЕ – квадрат, значит, СК = СЕ = r По свойству касательных: ВЕ = ВМ = а - r АК = АМ = b - r М К Е С А В О r r r a b c AB = AM + BM c = b – r + a - r 2r = a + b - c r = ½ (a + b – c) Т. к. Окр.(О;r) вписана в треугольник АВС, у которого угол С – прямой, то АС, ВС, АВ – касательные и

Окружность, вписанная в четырёхугольник А ВС К М Е Т Н О Определение: окружность называется вписанной в четырёхугольник, если все стороны четырёхугольника касаются её. На каком рисунке окружность вписана в четырёхугольник: 1) 2) 3)

Теорема: если в четырёхугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон четырёхугольника равны ( в любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны). Обратная теорема: если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. А ВС К М Е Т Н О АВ + СК = ВС + АК. ( доказательство – в учебнике 724 )

Дано: Окр.(О; 2 см) вписана в ромб FSLZ, F = Найти: Р FSLZ Задача : в ромб, острый угол которого 60 0, вписана окружность, радиус которой равен 2 см. Найти периметр ромба. Решение: Т. к. окружность вписана в ромб, то стороны ромба касаются окружности, значит, АВ FZ, AB = 2r = 4см – диаметр. Проведём SC FZ, SC = AB (как перпендикуляры между параллельными прямыми), SC = 4см FSC – прямоугольный, Р FSLZ = 4FS = 4 · (cм). Ответ: см F SL Z 2 O А В С

Реши задачи Дано: Окр.(О; r) вписана в АВСК, Р АВСК = 10 А В С К О r 1) Найти: ВС + АК 2) А ВС М 6 15 СМ = 2 АВ Найти: АВ, СМ Дано: АВСМ описан около Окр.(О; r) BC = 6, AM = 15,