Метод касательных Метод половинного деления Метод хорд Метод комбинированный Метод итераций

Пусть корень ξ уравнения f (x) отделён на отрезке [a, b], причём b – a > ε Будем считать, что функция : 1) Непрерывна и монотонна на отрезке [a, b] 2)f (a) x f (b) < 0 Итак разделим отрезок [a, b] пополам, середина отрезка c = (a + b) / 2 Отрезок [a, b] разделен на два отрезка [a, c] и [c, b], длина каждого = ( b – a) / 2

x y a b c C = (a + b) / 2 a1a1 b1b1 c1c1 a2a2 b2b2 c2c2 b-a> ε [a; c] и [c; b], длина отрезков (b - a) / 2 [a n ; b n ], длина (b-a)/2 n (b-a)/2 n

a,b, ε f(a)*f(c)>0 a:=c x:=c ± ε ε:=(b-a)/2 c:=(a+b)/2 b:=c (b-a) ε Методы

y x F > 0 y x F < 0 y x F > 0 y x F < 0 I тип II тип

Пусть корень уравнения F (x) = 0 отделен на отрезке [a, b]. Будем считать : 1)F (x) непрерывна на отрезке [a; b] 2)F (x) имеет на данном отрезке производные первого и второго порядков, производные сохраняют знак. 3)F (a) * F (b) < 0

y x 0 abx1x1 x2x2 x3x3 ξ A B

y x 0 abx1x1 ξ A C B

Треугольник AaX 1 подобен треугольнику ABC X 1 – a F (a) b – a F (a) – F (b) X1X1 a b – a F (b) – F (a) F (a)

x 2 = x 1 - (b – x 1 ) F (b) - F (x 1 ) F(x 1 )x n + 1 = x n - (b – x n ) F (b) - F (x n ) F (x n )

y x 0 a b x2x2 ξ x1x1 x3x3 A B

y x 0 a b x1x1 ξ A CB X1 b b – a F (b) – F (a) F (b)

x 2 = x 1 - (x 1 - a) F (x 1 ) – F (a) F (x 1 ) x n + 1 = x n - (x n - a) F (x n ) – F (a) F (x n ) Методы

y x F > 0 y x F < 0 y x F > 0 y x F < 0 I тип II тип

Пусть корень ξ уравнения F (x) = 0 отделен на отрезке [a, b]. Будем считать : 1)F (x) непрерывна на отрезке [a; b] 2)F (x) имеет на данном отрезке производные первого и второго порядков, производные сохраняют знак. 3)F (a) * F (b) < 0

y x 0 a = ξ 0 b ξ1ξ1 ξ2ξ2 A B F < 0 F > 0 F(a) > 0 ξ ξ3ξ3

Уравнение касательной в точке A (a, F (a)) : y – F (a) = F (a)*(x – a). Полагая y = 0, x = ξ 1, получим ξ 1 = a - F (a)

y x 0 ab = ξ 0 ξ1ξ1 ξ2ξ2 A B F > 0 F(b) > 0 ξ ξ3ξ3

Если касательную к кривой провести в точке B ( в правом конце ), то получим ξ 1 = b - F (b)

x 1 = x 0 - F (x 0 ) x 2 = x 1 - F (x 1 ) x n + 1 = x n - F (x n ) Методы x 0 = a II тип x 0 = b I тип

I тип Хорды b y x F > 0 a a1a1 b b1b1 a1a1 a Касательные = (a F (b) – b F (a)) / (F (b) – F (a)) = b – F (b) / F (b) F < 0 y x a a1a1 b1b1 b

II тип y x F > 0 F < 0 a1a1 a b1b1 b y x F > 0 a1a1 a b1b1 b Хорды b a Касательные = (b F (a) – a F (b)) / (F (a) – F (b)) = a – F (a) / F (a) Методы