Муниципальное общеобразовательное учреждение «Лермонтовская средняя общеобразовательная школа» Тема: «Инверсия» научно – исследовательская работа по математике. Автор: Карбовская Елена Класс: 10 Руководитель: Долид Наталья Николаевна

Содержание 1.Введение 2.Определение и свойства инвертных точек. 3.Метод инверсии Инверсия относительно оси ОХ Построение графиков y=1/f(x) Построение графиков y= в зависимости от коэффициентов a, b, c Инверсия относительно оси ОУ 4.2. Построение графиков у = f(1/x) 5. Применение инверсии в решении уравнений с параметром графическим способом. 6. Список литературы.

1.Введение у =

Инверсия - изменение нормального положения компонентов, расположение их в обратном порядке. (Толковый словарь С.И. Ожегова). Инверсия (от лат. Inversion – переворачивание, перестановка) – термин, относящийся к перестановкам в математике.

Цель работы: Изучить метод инверсии и его применение при построении графиков функций и графическом решении уравнений с параметром.

Задачи: 1. Знакомство с методом инверсии. 2. Рассмотрение инверсии относительно прямой, осей координат. 3. Изучение свойств инверсии. 4. Практическое применение инверсии при построении графиков и решении уравнений.

Достоинства способа: он помогает приобрести навык построения графиков функций; он помогает усвоению таких важных свойств функций как монотонность, экстремум, знакопостоянство, четность; график функции ее «портрет», поэтому данный способ помогает лучше увидеть свойства функции и решать уравнения с параметрами.

2. Определение и свойства инвертных точек. Точка В называется инвертной точке А относительно прямой (оси) е, если: 1) эти точки лежат по одну сторону относительно е; 2) отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси е; 3) произведение расстояний от этих точек до е равно 1 (ОАОВ = 1) 4) для точек оси е инвертных нет. В А 0 e

Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.

3. Метод инверсии Инверсия относительно оси ОХ. Рассмотрим инверсию относительно оси ОХ. В А х У

(х ; у) (х ; ). График функции g(x)= получается из графика функции y=f(x) инверсией относительно оси ОХ.

Свойства инверсии относительно оси Ох 1. Если f(x)>0, то >0. Если f(x)

4.Если f( -x)= f(x), то g(- x)= = = g(x) Если f( -x)= - f(x), то g(- x)= = = -g(x). 5.Если f(x) – периодическая функция, то - периодическая функция. 6. Если f(x) сохраняет знак на множестве X и возрастает на нем, то убывает на этом множестве. Если f(x) сохраняет знак на множестве X и убывает на нем, то возрастает на этом множестве.

7.Наибольшее значение функции изменяется и становится наименьшим, и наоборот. Максимум становится минимумом, и наоборот 8. Если при x f(x) 0, то в графике инверсии. Если при x f(x), то в графике инверсии 0.

3.2. Построение графиков y=1/f(x). Алгоритм построения: 1.Строим график функции y=f(x). 2.Через точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ проводим вертикальные асимптоты или вынуть из области определения нули функции. 3.Строим вспомогательные прямые у=1, у=-1. 4.Промежутки знакопостоянства сохраняем. 5.Сохраняем четность функции (симметрия графика) 6.Сохраняем периодичность функции. 7.Меняем промежутки возрастания (убывания) на промежутки убывания (возрастания).

у =

Построение графиков y=1/(ax2+bx+c) в зависимости от коэффициентов a, b, c.

4.1.Инверсия относительно оси ОУ В А х у

График функции g(x)=f( ) получается из графика функции y=f(x) инверсией относительно оси ОУ. (х ; у)(, у)

Пример 1. Построить график функции График этой функции получается из графика функции f(x) = инверсией относительно оси ОУ. y x 1 f(x) = 0

5. Применение инверсии в решении уравнений с параметром графическим способом. Рассмотренная тема находит свое применение в решении уравнений с параметрами графическим методом. Он состоит в построении кривой, определяемой уравнением с параметром: (а - 1)х² - 4(а - 1)х + 3а – 4 = 0 Проведем преобразования. После преобразования получаем:

С помощью графика установить: а) при каких значениях параметра а уравнение не имеет решения; б) при каких значениях параметра а уравнение имеет решения разных знаков; в) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень из отрезка [-1;2]; г) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень больше 6.

Список используемой литературы А.П. Карп «Даю уроки математики» (М., «Просвещение», 1992) Н.Я. Виленкин «Алгебра 9» (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). (М., «Просвещение», 1996)

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!