АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА

Алгоритм Евклида - это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух целых неотрицательных чисел. Евклид ( до. н. э.) Древнегреческие математики называли этот алгоритм νθυφαίρεσις или νταναίρεσις «взаимное вычитание».

Вычисление НОД НОД = наибольший общий делитель двух натуральных чисел – это наибольшее число, на которое оба исходных числа делятся без остатка. НОД(a, b)= НОД(a-b, b)= НОД(a, b-a) Заменяем большее из двух чисел разностью большего и меньшего до тех пор, пока они не станут равны. Это и есть НОД. НОД (18, 45) = НОД (18, 45-18) = НОД (18, 27)= НОД (18, 9) = =НОД(9,9)=9 Пример :

ШАГОперацияMNУсловие 1Ввод M48 2Ввод N18 3 M N48 18, да 4M>N48>18, да 5M:=M-N30 6 M N30 18, да 7M>N30>18, да 8M:=M-N12 9 M N12 18, да 10M>N12>18, нет 11N:=N-M6 12 M N12 6, да 13M>N12>6, да 14M:=M-N6 15 M N6 6, нет 16Вывод M

program Evklid; var m, n: integer; begin writeln ('vved 2 chisla'); readln (m,n); while mn do begin if m>n then m:=m-n else n:=n-m; end; write ('nod=',m); readln end.

0.Выполните на компьютере программу Evklid. Протестируйте её при значениях М=32, N=24; M=696, N= Проверить, являются ли два данных числа взаимно простыми. Примечание. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен Найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел n и m, если НОК(n, m) = n * m / НОД (n, m). 3. Даны натуральные числа m и n. Найти такие натуральные p и q, не имеющие общих делителей, что p / q = m / n. 4. Найти НОД трех чисел. Примечание. НОД(a, b, c)= НОД(НОД(a, b), c) Задачи

ЕВКЛИД, древнегреческий математик. Работал в Александрии в 3 в. до н. э. Главный труд "Начала" (15 книг), содержащий основы античной математики, элементарной геометрии, теории чисел, общей теории отношений и метода определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов. Оказал огромное влияние на развитие математики. Работы по астрономии, оптике, теории музыки.