Полезные теоремы, следствия и задачи. 1 Бойко Вера Петровна. учитель математики ГБОУ СОШ 2075

1) Сформулируй понятие площади геометрической фигуры. 2) Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур. 3) Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма? 2

Площадью геометрической фигуры называется величина, характеризующая размер данной фигуры. 3

- Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. - Эта площадь – единственная. - Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом. - Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице. - Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается. 4

Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. 5 а в S = а · в

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону 6 а S = а · h h

Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними. 7 а в А В С Д S= а · в · sin А

Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную на эту сторону. 8 А В С Д S= ½ AC · ВД

9 А В Д С К S(АВС)= ½ S(АВДС)=1/2 АС · ВК

Попробуй доказать самостоятельно следующие следствия из теоремы: 10

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 11 А В С S= ½ ВС · АС

Площадь тупоугольного треугольника равна произведению любой из его сторон на высоту, опущенную на прямую, содержащую эту сторону. 12 А В С Д

Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними. 13 А В С S= ½ АВ · АС · sin А

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: 14 где а – сторона треугольника

1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, опущенная на это основание, равна 20 см. 2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см. 3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 см и 12 см. 15

1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника. 2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника. 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен. Найдите площадь треугольника. 2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь. 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен. Найдите площадь треугольника. 18

см см см 2 19

1. 60 см см 2 20

1. ½ a 2 sin

Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения. 22

Например, мы уже знаем, как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм: 23

-Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны. -Проведем через эту точку прямую, параллельную одной из сторон этого треугольника. -Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию. -Переставим меньший треугольник к трапеции так, чтобы получился параллелограмм. 24

25

Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма. 26

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту! 27

Надеюсь, что эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит получить на контрольной работе только «5»! Благодарю за внимание ! 28