КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

N C Z C Q C R C C N- natural R- real C - complex Z – исключительная роль нуля zero Q – quotient отношение ( т.к. рациональные числа – m/n) C R Q Z N

Минимальные условия комплексного числа 1) Существует число, квадрат которого = -1. 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяет обычным законом арифметических действий.

Элемент, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей. Обозначается i (переводится «мнимый», «воображаемый») "Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII в. Леонарда Эйлера ( ), который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного. В замечательных работах Эйлера детально изучены элементарные функции комплексного переменного. После Эйлера открытые им результаты и методы развивались, совершенствовались и систематизировались, и в первой половине XIX в. теория функций комплексного переменного оформилась как важнейшая отрасль математического анализа. "Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и» отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. К а р д а н о, 1545). До середины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клеро). Первое изложение теории комплексных чисел на русском языке принадлежит Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «i» также введен Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится к концу XVIII в. (датчанин Каспар Вессель, 1799 г.)."

Условия про операции комплексных чисел позволяют умножать комплексные числа на мнимую единицу ( i ). Такое произведение называют чисто мнимыми числами. Например: i, 2i, -0,3i – чисто мнимые числа. 3i +13i=(3+13)i = 16i 3i·13i = (3·13) (i·i)=39i 2 =-39 ПРАВИЛА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ 1 0 ai+bi=(a+b)i 2 0 a(bi)=(ab)i 3 0 (ai)(bi)=abi 2 = -ab 4 0 0i =0

Сумма a+bi (a и b действительные числа) 1)а = 0, то a+bi =0+bi=bi (мнимое) 2)b = 0, то a+bi =а+0=а ( действительное) 3)а не равно нулю, то a+bi ни действительное, не мнимое. Оно более сложное составное число. КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ НАЗЫВАЮТ СУММУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА И ЧИСТО МНИМОГО ЧИСЛА Z=a + bi

Кк КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА РАВНЫ, КОГДА РАВНЫ ИХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И МНИМЫЕ ЧАСТИ. a+bi=c+di, если a=c, b=d КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО Z = a + bi а - действительная часть числа bi-мнимая часть комплексного числа

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ Z 1 =a+bi Z 2 =c+di 1.Z 1 + Z 2 = (a+c)+(b+d) 2.Z 1 Z 2 = (a+bi)(c+di) = (ac-bd)(bc+ad)i 3.Z 1 : Z 2 = (Z 1 ) : (Z 2 ) 2 СОПРЯЖЕННЫМ ЧИСЛОМ ДЛЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА НАЗЫВАЕТСЯ КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО, ОТЛИЧАЮЩЕЕСЯ ОТ ДАННОГО ЗНАКОМ МЕЖДУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЯМИ. например: a+bi и a-bi – сопряженные числа. Рассмотрим свойства на примерах : z 1 =1-2i z 2 =3+i z 3 =-7i a) Z 1 Z 2 б)Z 1 + Z 2 Z 3 в) Z 1 + (Z 2 ) 2 + (Z 3 ) 3