Скалярное произведение векторов

a b ab = Угол между векторами и равен. abО Угол между векторами

a d b 30 0 ab = c f ac = bc = df = dc = Найдите угол между векторами

Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. ab = a b cos( ) ab Определение

a b ab= ab cos 90 0 = 0 ab = 0= 0= 0= 0 ab Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. ab = 90 0 Частный случай 1 = 0

a b острый. Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый.ab= a bcos > 0 ab > 0> 0> 0> 0 ab < 90 0 ab Частный случай 2

a b тупой. Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой.ab= a bcos < 0 ab < 0< 0< 0< 0 ab > 90 0 ab Частный случай 3

ab = ab= a b cos 0 0 a b11 ab = 00= 00= 00= 00 ab= a b cos180 0 a b ab = = – ab Частный случай 4

aa= a acosa aa = 00= 00= 00= 00 aa= =a Скалярное произведение называется скалярным квадратом скалярным квадратом вектора и обозначаетсяaaaa Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a=a Частный случай

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и N – середины ребер АD и ВС. Докажите, что MN AD = 0 B C N A D M Задача

Формула для нахождения скалярного произведения через координаты векторов a = x 1 i + y 1 j + z 1 k b = x 2 i + y 2 j + z 2 k ab = ? (x 1 i + y 1 j + z 1 k) ab= (x 2 i + y 2 j + z 2 k) = = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ab = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Пример 1 Найти скалярное произведение векторов: a {-6; 9; 5} b {-1; 0; 7} ab = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ab = -6 (-1) = (-1) = 41

Пример 2 Найти скалярное произведение векторов: a {0; 0; 4} b {22; 1; 8} ab = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ab = = = 32

Пример 3 Найти скалярное произведение векторов: a {1; 7; 9} b {-2; 4; 0} ab = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ab = 1 (-2) = 26 1 (-2) = 26

Проверочная работа 1. Найти скалярное произведение векторов: a {1; 10; 7} b {0; 7; 0}

Проверочная работа 2. Найти скалярное произведение векторов: a {7; 25; 0} b {11; 0; 54}

Проверочная работа 3. Найти скалярное произведение векторов: a {|-2|; 0; |3|} b {1; |-11|; 1}

Проверочная работа 4. Найти скалярное произведение векторов: a {sin(90 0 ); 2; 3} b {3; 2; 1}

Проверочная работа 5. Найти скалярное произведение векторов: a {-1; 2; 8} b {5; 5; 0}

Проверочная работа Работа закончена. Перейдём к проверке.

Проверочная работа 1. Найти скалярное произведение векторов: a {1; 10; 7} b {0; 7; 0} ab = 10 7 = = 70

Проверочная работа 2. Найти скалярное произведение векторов: a {7; 25; 0} b {11; 0; 54} ab = 7 11 = = 77

Проверочная работа 3. Найти скалярное произведение векторов: a {|-2|; 0; |3|} b {1; |-11|; 1} ab = = = 5

Проверочная работа 4. Найти скалярное произведение векторов: a {sin(90 0 ); 2; 3} b {3; 2; 1} ab = = = 10

Проверочная работа 5. Найти скалярное произведение векторов: a {-1; 2; 8} b {5; 5; 0} ab = = = 5

Домашнее задание Читать п.51 Выполнить упр.446(б), упр.448