10 способов решения квадратных уравнений Работу выполнила учитель математики МБОУ « СОШ 31» г. Энгельса Волосожар М. И.

Способ 1: разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители : х х - 24 = х х - 2 х - 24 = х ( х + 12) - 2( х + 12) = ( х + 12)( х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так : ( х + 12)( х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х х - 24 = 0.

Способ 2: метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х х в следующем виде : х х = х х 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2, так как х х = ( х + 3) 2. Преобразуем теперь левую часть уравнения х х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2. Имеем : х х - 7 = х х = ( х + 3) = ( х + 3) Таким образом, данное уравнение можно записать так : ( х + 3) =0, ( х + 3) 2 = 16. Следовательно, х = 0, х 1 = 1, или х + 3 = -4, х 2 = -7.

Способ 3: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах 2 + b х + с = 0, а 0 на 4 а и последовательно имеем : 4 а 2 х а b х + 4 ас = 0, ((2 ах ) ах b + b 2 ) - b 2 + 4ac = 0, (2ax + b) 2 = b 2 - 4ac, 2ax + b = ± b 2 - 4ac, 2ax = - b ± b 2 - 4ac,

Способ 4 : Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х 2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p Отсюда можно сделать следующие выводы ( по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней ).

а ) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны. Например, x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0; x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 и x 2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0. б ) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q 0. Например, x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 0; x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

Способ 5: Решение уравнений способом « переброски ». Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у / а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = у 1 / а и х 1 = у 2 / а.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы « перебрасывается » к нему, поэтому его называют способом « переброски ». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Пример. Решим уравнение 2 х 2 – 11 х + 15 = 0. Решение. « Перебросим » коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 11 у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5 у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3. Ответ : 2,5; 3.

Способ 6: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а 0. Если, а + b + с = 0 ( т. е. сумма коэффициентов равна нулю ), то х 1 = 1, х 2 = с / а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b/a x + c/a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 ( - c/a), т. е. х 1 = -1 и х 2 = c/a, что и требовалось доказать.

Примеры. Решим уравнение 345 х 2 – 137 х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c/a = -208/345. Ответ : 1; -208/345. 2) Решим уравнение 132 х 2 – 247 х = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – = 0), то х 1 = 1, х 2 = c/a = 115/132. Ответ : 1; 115/132.

Способ 7: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х 2 и у = - px - q. График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая.

. Возможны следующие случаи : -прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения ; - прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка ), т. е. уравнение имеет одно решение ; - прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.