2 Ребята! Сегодня мы с вами выходим в открытое пространство. Объект изучения – скрещивающиеся прямые. Вы конечно помните, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Давайте посмотрим какими еще интересными свойствами обладают скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. b a 1 свойство Вопрос 1: Как доказать, что прямые скрещиваются? Вопрос 2: Как построить эти параллельные плоскости?

Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. b a 1 свойство Вопрос 2: Как построить эти параллельные плоскости? a1a1 b1b1

Через точку, не лежащую на данных параллельных плоскостях, проходит прямая, и притом, единственная, пересекающая обе скрещивающиеся прямые. М a b c A B 2 свойство Вопрос 3: Как построить эту прямую?

Через точку, не лежащую на данных параллельных плоскостях, проходит прямая, и притом, единственная, пересекающая обе скрещивающиеся прямые. М a b c A B 2 свойство Вопрос 3: Как построить эту прямую?

У всяких двух скрещивающихся прямых имеется один общий перпендикуляр. a b c A B 3 свойство Вопрос 4: Как построить этот перпендикуляр?

У всяких двух скрещивающихся прямых имеется один общий перпендикуляр. a b c A B 3 свойство Вопрос 4: Как построить этот перпендикуляр? a1a1

Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, то длина перпендикуляра, опущенного из любой точки второй прямой на эту плоскость есть расстояние между скрещивающимися прямыми. a b A B 4 свойство Вопрос 4: Зависит ли расстояние между скрещивающимися прямыми от выбора точки А?

Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, то длина перпендикуляра, опущенного из любой точки второй прямой на эту плоскость есть расстояние между скрещивающимися прямыми. a b A B 4 свойство Вопрос 5: Зависит ли расстояние между скрещивающимися прямыми от выбора точки А? A1A1 A2A2 B1B1 B2B2

Теперь вы догадываетесь, какие интересные конструкции можно составлять из скрещивающихся прямых. Без скрещивающихся ребер нет и многогранника. Рассмотрим несколько моделей различных многогранников.

Вы видите пары скрещивающихся ребер.

А 1 В 1, АВ и D С – орбиты звездолетов, при этом А 1 В 1 и АВ скрещиваются. Возможно ли столкновение спутников при движении их по этим орбитам? B1B1 B C D A1A1 М А К О

АС и В 1 D 1 – орбиты звездолетов, а точка М - это межпланетная станция. Надо произвести запуск звездолета по космическому тоннелю так, что бы тоннель проходил через точку М и пересекал орбиты.* *Требуется построить прямую линию, пересекающую две скрещивающиеся прямые и проходящую через точку М. B1B1 C1C1 B C D D1D1 A1A1 М А

B1B1 C1C1 А B C D D1D1 A1A1 М Надо произвести запуск космического звездолета с межпланетной станции (точка М), таким образом, что бы он пересек орбиты В 1 D 1 и АС за минимально короткое время. Постройте траекторию движения звездолета.* *Требуется построить прямую линию, проходящую через точку М и пересекающую две скрещивающиеся прямые.

А теперь попробуйте выполнить следующие задания. 1. Докажите, что прямые АС и B 1 D 1 скрещивающиеся. 2. Пусть дана точка М, не лежащая ни на одной из скрещивающихся прямых и лежащая в плоскости А 1 В 1 С 1 D 1. Можно ли построить прямую, проходящую через эту точку и пересекающую обе скрещивающиеся прямые? 3. П остро й т е общий перпендикуляр для прямых АС и B 1 D Каково расстояние между прямыми АС и В 1 D 1, если ребро куба равно а? B1B1 C1C1 А B C D D1D1 А1А1 B1B1 C1C1 А B C D D1D1 М Дан куб.

АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – космическая станция, имеющая форму куба. Требуется найти расстояние между АА 1 и В 1 D, если ребро куба равно а. К B1B1 C1C1 А B C D D1D1 А1А1

B1B1 C1C1 B C D D1D1 A1A1 М О1О1 О2О2 Искомая прямая проходит через точку М и прямую АС, поэтому она находится в плоскости МАС или АА 1 С 1 С. Кроме того, она должна пересекать прямую В 1 D 1 и, следовательно, задача сводится к построению точки пересечения прямой В 1 D 1 и плоскости АА 1 С 1 С. Строим сечение АА 1 С 1 С. Прямая В 1 D 1 и плоскость АА 1 С 1 С пересекаются в точке О 1. А Через точки М и О 1 проходит искомая прямая МО 1. Продолжим прямую АС, что бы построить точку пересечения прямых МО 1 и АС. Прямые пересекаются в точке О 2. Прямая О 1 О 2 и есть искомая прямая. Построение Пуск

C1C1 А B C D D1D1 A1A1 В1В1 М Y X Построение Пуск О

A1A1 В1В1 C1C1 D1D1 D C A В О Построение Замечаем, что прямая В 1 D лежит в плоскости сечения ВВ 1 D 1 D, а прямая АА 1 параллельна этой плоскости. Следовательно, что бы найти расстояние между прямыми АА 1 и В 1 D надо опустить перпендикуляр из любой точки прямой АА 1 на плоскость ВВ 1 D и найти его длину. Опустим перпендикуляр АС на плоскость ВВ 1 D (объясни как). АО и есть искомое расстояние. АО =

Т.к. прямые лежат в параллельных плоскостях, то они не пересекаются, а т.к. они не параллельны. Следовательно они скрещиваются. 2.Надо на одной из скрещивающихся прямых отметить произвольную точку и построить через эту точку прямую, параллельную второй скрещивающейся прямой. Затем через две пересекающиеся прямые построить 1-ю плоскость. Аналогичным образом поступить со второй плоскостью. (признак параллельности двух плоскостей). 3.Надо через одну из скрещивающихся прямых и данную точку построить плоскость. Вторая из скрещивающихся прямых будет пересекать эту плоскость в некоторой точке. Через эту точку и данную точку провести искомую прямую. 4.Надо через одну из скрещивающихся прямых провести плоскость, параллельную второй прямой и затем параллельным переносом опустить вторую прямую на эту плоскость, что бы найти точку пересечения прямых. Из этой точки восстановить перпендикуляр на вторую прямую. 5.Нет.