Нестандартно мыслим. Применение теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом при доказательстве неравенств.

Цели и задачи: Научиться доказывать неравенства различными (рациональными) способами. Научиться доказывать неравенства различными (рациональными) способами.

Свойства числовых неравенств:

3.13 (4 балла).

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел:

4 из § 24 4 из § 24

Решение:

Готовясь с учащимися к олимпиаде, я решала с ними множество задач, среди которых были задачи на доказательство неравенств. Одни из них мы решали традиционным методом оценки разности левой и правой частей неравенства, другие таким способом нам не удавалось решать, и тогда на помощь приходила теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом. Готовясь с учащимися к олимпиаде, я решала с ними множество задач, среди которых были задачи на доказательство неравенств. Одни из них мы решали традиционным методом оценки разности левой и правой частей неравенства, другие таким способом нам не удавалось решать, и тогда на помощь приходила теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.

Приведу примеры некоторых из них:

Заключение: В своей работе я привела лишь несколько примеров, иллюстрирующих возможности теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух или более положительных чисел. С ее помощью можно не только легко доказывать сложные, на первый взгляд, неравенства, но и решать геометрические задачи, а также алгебраические уравнения. В своей работе я привела лишь несколько примеров, иллюстрирующих возможности теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух или более положительных чисел. С ее помощью можно не только легко доказывать сложные, на первый взгляд, неравенства, но и решать геометрические задачи, а также алгебраические уравнения.

ЛИТЕРАТУРА. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. Алгебра 8. М.: Просвещение, Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. Алгебра 8. М.: Просвещение, Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, Далингер В.А. «Как сделать теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом средством познания» Ж. «Математика в школе» 9, Далингер В.А. «Как сделать теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом средством познания» Ж. «Математика в школе» 9, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова и др. Алгебра: Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. – 2 – е издание. – М.: Просвещение, Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова и др. Алгебра: Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. – 2 – е издание. – М.: Просвещение, Сивашинский И. Х. «Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям». М.: Наука, Сивашинский И. Х. «Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям». М.: Наука, 1971.