Выпуклость и вогнутость функции Презентация к уроку по учебнику «Алгебра и начала анализа, 10-11» под редакцией Ш.А.Алимова, § 53 Автор презентации Бартош Наталья Владимировна, учитель математики 587 гимназии г. Санкт-Петербурга

Вариант 1 Самостоятельная работа x³ y = e y = ln (x² +1) Построить график функции Вариант 2

x³ y = e

y = ln (x² +1)

Дана функция у = f (x) На интервале (а, b) функция у = f (x) непрерывна и дифференцируема, причем f '(x) >0 Постройте эскиз графика функции у = f (x) интервале (а, b) а b у

Дана функция у = f (x) Чем отличается поведение линий? Одна из них – отрезок прямой Другая проходит над отрезком Третья – под отрезком А четвертая – частично над отрезком, частично под ним а b у

В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия: выпуклости и вогнутости графика функции

Выпуклость и вогнутость функции Геометрический смысл второй производной

Выпуклая вверх (выпуклая кривая) Кривая называется выпуклой вверх в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной у а х

Выпуклая вниз (вогнутая кривая) Кривая называется выпуклой вниз в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной у а х

Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая) у 0 a b х

Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая) у 0 a b х

Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

м1м1 м2м2 м3м3 α1α1 α2α2 α3α3 График функции у = f (х) – вогнутая кривая Величина углов α1, α2, α3… растет, увеличиваются и тангенсы этих углов В точках М1, М2, М3… проведены касательные α 1 < α 2 < α 3 < …

м1м1 м2м2 м3м3 α1α1 α2α2 α3α3 График функции у = f (х) – вогнутая кривая В точках М1, М2, М3… проведены касательные α 1 < α 2 < α 3 < … тангенсы углов α1, α2, α3… увеличиваются tgα = f(х), следовательно, возрастает функция f(х) Если функция возрастает, то ее производная положительна Производная функции f(х) – это производная производной (f (х)) = f (х) и f (х) >0 Вывод: Если график функции – вогнутая кривая, то вторая производная этой функции – положительна.

α1α1 График функции у = f (х) – выпуклая кривая tgα = f(х), следовательно, убывает функция f(х) В точках М1, М2, … проведены касательные производная функции y = f (х) (f (х)) = f (х) - отрицательна, т.е. f (х) < 0 м1м1 м2м2 α1α1 α2α2 α1 > α2 > α3 > … тангенсы углов α1, α2, α3… убывают Вывод: Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

Если вторая производная функции у = f (х) на данном интервале положительна, то кривая вогнута а если отрицательна – выпукла в этом промежутке

Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба

Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции: Найти: 1. Вторую производную 2. Точки, в которых она равна нулю или не существует 3. Интервалы, на которые область определения разбивается этими точками 4. Знаки второй производной в каждом интервале Если f '(х) < 0, то кривая выпукла, если f '(х) > 0 – вогнута.

Исследование функции с помощью второй производной Интервалы выпуклости: (-3, 0) и (2, 5) Интервалы вогнутости: (-, -3), (0, 2) и (5, +) f х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – точки перегиба f

График функции у = f (х) – вогнутая кривая График функции у = f (х) – выпуклая кривая «+» «-»

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба Вариант 1 у = х³ - 12х + 4 Вариант 2 у = ¼ х 4 – 3/2 х²

Проверка Вариант 1 у = х³ - 12х + 4 х – любое число f'(х) = 3х² - 12 f''(х) = 6х 6х = 0 х = 0 Интервалы выпуклости: (-, 0) Интервалы вогнутости: (0, +) - + f 0 f х = 0 – точка перегиба

Проверка Вариант 2 у = ¼ х 4 – 3/2 х² х – любое число f'(х) = х³ - 3х f''(х) = 3х² - 3 = 3(х – 1)(х + 1) х = 1 х = -1 Интервалы выпуклости: (-1, 1) Интервалы вогнутости: (-, -1) и (1, +) f f х = 1 и х = -1 – точки перегиба

Спасибо за работу Успехов!