МБОУ «Кваркенская СОШ» Тема: «Многоугольники, описанные около окружности и вписанные в окружность.» Учитель математики : Затолюк Зоя Николаевна

Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник

Теорема 1 Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Теорема 2 Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Ее центром является точка пересечения биссектрис углов многоугольника.

Теорема 3 Теорема. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Пример 1 Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит сторону AB в точке касания D на два отрезка AD = 5 см и DB = 6 см. Определите периметр треугольника ABC, если известно, что BC = 10 см. Ответ: 30 см.

Вопрос 1 Какой многоугольник называется описанным около окружности? Ответ: Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Вопрос 2 Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Ответ: Вписанной в многоугольник называется окружность, касающаяся всех сторон этого многоугольника.

Вопрос 3 Во всякий ли треугольник можно вписать окружность? Ответ: Да.

Вопрос 4 Где находится центр вписанной в треугольник окружности? Ответ: Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Вопрос 5 Можно ли вписать окружность в правильный многоугольник? Ответ: Да.

Упражнение 1 Можно ли вписать окружность в: а) остроугольный треугольник; б) прямоугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник? Ответ: а) Да; б) да; в) да.

Упражнение 2 Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне этого треугольника? Ответ: Нет.

Упражнение 3 Какой вид имеет треугольник, если: а) центры вписанной и описанной около треугольника окружностей совпадают; б) центр вписанной в него окружности принадлежит одной из его высот? Ответ: а) Равносторонний; б) равнобедренный.

Упражнение 4 Ответ: 20 см. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 4 см и 3 см, считая от вершины. Определите периметр треугольника.

Упражнение 5 К окружности, вписанной в треугольник АВС, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны p 1, p 2, p 3. Найдите периметр данного треугольника. Ответ: p 1 + p 2 + p 3.

Упражнение 6 Ответ: 34 см. В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10 см.

Упражнение 7 Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите радиус вписанной в него окружности. Ответ: 1 см.

Упражнение 8 Ответ: а) Нет; Можно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) дельтоид ? б) нет; в) да; г) да; д) да.

Упражнение 9 Два равнобедренных треугольника имеют общее основание и расположены по разные стороны от него. Можно ли в образованный ими выпуклый четырехугольник вписать окружность? Ответ: Да.

Упражнение 10 Какой вид имеет четырехугольник, если центр вписанной в него окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей? Ответ: Ромб.

Упражнение 11 Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 18 см. Найдите ее среднюю линию. Ответ: 4,5 см.

Упражнение 12 В трапецию, периметр которой равен 56 см, вписана окружность. Три последовательные стороны трапеции относятся как 2:7:12. Найдите стороны трапеции. Ответ: 4 см, 14 см, 24 см, 14 см.

Упражнение 13 Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 3 см.

Упражнение 14 Сторона ромба равна 4 см, острый угол – 30 о. Найдите радиус вписанной окружности. Ответ: 1 см.

Упражнение 15 Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника. Ответ: 7 см, 30 см.

Упражнение 16 Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 7 см и 10 см. Можно ли по этим данным найти периметр четырехугольника? Ответ: Да, 34 см.

Упражнение 17 Чему равна сторона правильного четырехугольника, описанного около окружности радиуса R? Ответ: 2R.

Упражнение 18 В шестиугольнике ABCDEF, описанном около окружности AB = 3, CD = 4, EF = 2. Найдите периметр этого шестиугольника. Ответ: 18.