Введение в теорию вероятностей. Случайные опыты и события. Урок 2

Вечные истины Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой математической задаче у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Случайные события Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной. Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.

Случай имеет свои законы! Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики – Теории вероятностей.

Случайность и здравый смысл «Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенной к исчислению» Лаплас

Азартные игры Богатый материал для наблюдения за случайностью на протяжении многих веков давали азартные игры.

У истоков науки В археологических раскопках специально обработанные для игры кости животных встречаются, начиная с V века до н.э. Самый древний игральный кубик найден в Северном Ираке и относится к IV тысячелетию до н. э.

Знаменитая задача Одна из самых знаменитых задач, способствовавших развитию теории вероятностей, была задача о разделе ставки, помещенная в книге Луки Паччиоли (1445- ок. 1514). Книга называлась «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношении и пропорции» и была опубликована в Венеции в 1494 году.

Задача Паччиоли Двое играют в некоторую игру, где шансы на победу у каждого игрока одинаковы. Игроки договорились играть до 6 побед, но игра остановилась, когда у одного было 5 побед, а у другого – 3. Как следует разделить приз? (Сам Паччиоли считал, что приз надо делить пропорционально количеству выигранных партий. Однако правильный ответ не так прост.)

Задача кавалера де Мере При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы один раз или же шестерка не появится ни разу? Эта одна из тех задач, с которыми кавалер де Мере обратился к Б. Паскалю в надежде узнать выигрышную стратегию.

Решение задачи кавалера де Мере При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы один раз или же шестерка не появится ни разу? На каждой из четырех костей может выпасть любое из шести чисел, независимо друг от друга. Всего вариантов 6666=1296. Количество вариантов без шестерки будет, соответственно, 5555=625. В остальных 1296–625=671 вариантах шестерка выпадет хотя бы один раз. Значит, появление шестерки хотя бы один раз при четырех бросаниях происходит чаще, чем ее НЕпоявление.

Основные определения События ДостоверныеНевозможныеСлучайные В теории вероятностей шансы того, что случайное событие произойдет, выражают числом. Это число называют вероятностью случайного события. События обозначают прописной буквой, например, A, B, C и т.д. Вероятность обозначают P(A), P(B) и т.д. Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. => P(A) – число из отрезка [0;1]

Основные определения 0 Всякое случайное событие связано с определенными условиями. Вне этих условий это событие вообще невозможно. 0 Если мы создаем такие условия, мы тем самым производим некоторый случайный эксперимент, или опыт. 0 Отношение числа тех опытов, в которых событие произошло, к общему числу опытов называется частотой случайного события в этой серии опытов. 0 Вероятности и частоты связаны. Если опыт повторять достаточно много раз, то частота события близка к его вероятности.

Частота случайного события Отношение числа тех опытов, в которых событие произошло, к общему числу опытов называется частотой случайного события в этой серии опытов. При очень большом N f = P(A)