- самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц ( ) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом

Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Классическая задача комбинаторики: «сколько есть способов извлечь m элементов из п возможных» упоминается еще в сутрах древней Индии (начиная примерно с 4 века до н.э.).Античные греки также рассматривали отдельные комбинаторные задачи, хотя систематическое изложение ими этих вопросов, если оно и существовало, до нас не дошло. Комбинаторные правила пифагорейцы, использовали при построении своей теории чисел и нумерологии (совершенные числа, фигурные числа, пифагоровы тройки).

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский язык означает – «сочетать», «соединять». Элементарна комбинаторика имеет дело с множествами из которых выбирают подмножества с определенными свойствами. Как правило ставится вопрос сколько таких подмножеств можно выбрать из данного множества. Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Правила комбинаторики: Перестановками называются такие выборки элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов, но не самими элементами. Количество всех перестановок из n элементов обозначают Р n = n! где n - порядок перестановки, n! = … n, n!-читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1.

Рассмотрим различные способы сочетания трех роз.

Размещениями из n элементов по m (мест) называются такие выборки, которые имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения. Количество всех размещений из n по m обозначают вычисляют по формуле Если число размещений из n по n, то Таким образом

В соревновании пять спортсменов. Сколькими способами могут распределиться призовые места (первые три)? В соревновании пять спортсменов. Сколькими способами могут распределиться призовые места (первые три)? Задача. Ответ: 60.

Сочетаниями называются неупорядоченные выборки из n элементов по m и обозначаются. Число сочетаний определяется по формуле Выборки, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Свойства числа сочетаний.

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». С помощью 5 свойства можно легко вычислять последующие биноминальные коэффициенты через предыдущие: Треугольник Паскаля выглядит следующим образом

Николай хочет купить пять разных книг, но денег у него хватает только на три (любые) книги. Сколькими способами Николай может выбрать три книги из пяти? Задача. Решение: сочетания; 1) нам нужно выбрать 3 объекта из 5, причем порядок выбора здесь не важен – нам нужны разные сочетания; сочетаний, 2) зная формулу для вычисления количества сочетаний, сразу находим (при m = 3 и n = 5 ) Ответ: 10.

При решении большинства комбинаторных задач используются два основных правила – правило суммы и правило произведения. Закон умножения показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых при условии, что все они независимы.

Сколько существует различных четырехзначных чисел, в записи которых используются только четные цифры? Задача. 2) предположим, что первая цифра выбрана; независимо от нее на втором месте может стоять любая из четных цифр – 0, 2, 4, 6 или 8, всего 5 вариантов : Решение: 1) первой цифрой может быть любая четная цифра, кроме нуля (иначе число не будет четырехзначным) – это 2, 4, 6 или 8, всего 4 варианта.

3 ) аналогично находим, что последние две цифры также могут быть выбраны 5-ю способами каждая, независимо друг от друга и от других цифр (первой и второй): 4) общее количество комбинаций равно произведению 4 · 5 · 5 · 5 = 500 Ответ :500.

Если правило умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в правиле сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно. Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.

Решение: Сколько существует раз Решение: 1)возможны три случая: 99, 99 и 99, где жирная точка обозначает некоторую цифру, не равную 9 2) для каждого из этих случаев нужно подсчитать количество вариантов и эти числа сложить 3) в варианте 99 две последних цифры могут быть любыми, кроме девятки (по 9 вариантов выбора): Задача. поэтому всего получаем 1·1·9·9 = 81 вариант.

4) в варианте 99 первая цифра не может быть нулем и девяткой (остается 8 вариантов), а последняя может быть любой, кроме девятки ( 9 вариантов): поэтому всего получаем 8·1·1·9 = 72 варианта 5) в варианте 99 первая цифра не может быть нулем и девяткой (остается 8 вариантов), а вторая может быть любой, кроме девятки (9 вариантов): 8 · 9 · 1 · 1 = 72 поэтому всего получаем 8 · 9 · 1 · 1 = 72 варианта 6) общее количество вариантов равно сумме = = 225 Ответ: 225.

Можно сказать, что правило сложения это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, правило умножения это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.