Применение метода интервалов для решения неравенств урок алгебры в 9 классе

х у 0 Суть метода Пусть функция задана формулой вида В каждом промежутке знак функции сохраняется При переходе через нуль знак функции меняется

Свойство непрерывной функции. Функция Функция непрерывна на области определения и имеет различные нули. Нули функции разбивают область определения на промежутки знакопостоянства, при переходе через нуль знак функции меняется.

Разложить многочлен на простые множители; найти корни многочлена; изобразить их на числовой прямой; разбить числовую прямую на интервалы; определить знаки множителей на интервалах знакопостоянства; выбрать промежутки нужного знака; записать ответ (с помощью скобок или знаков неравенства). План применения метода интервалов !

Решить неравенство ? ? ? ?

Решить неравенство ? Решение. Ответ:

Решить неравенство x + – + – Ответ: ( - 1; 0) (4;+ )

Решить неравенство x + – + – Ответ: (- ; - 1] [1;3]

Метод интервалов используется тогда и только тогда, когда многочлен или дробное выражение сравниваются с нулем Во вторую очередь, раскладывают на множители: многочлен или числитель и знаменатель дробного выражения

Если неравенство приведено к каноническому виду, то на крайнем правом промежутке знак «+». Канонический вид неравенства – это произведение различных двучленов и «нераскладываемых» многочленов, в которых старший коэффициент положительный

Знак неравенства «нестрогий»: на числовой прямой корни многочлена или числителя - закрашенные кружки. Корни знаменателя для «строгих» и «нестрогих» неравенств - «пустые» кружки. Надо штриховать промежутки. Штриховка соответствует знаку неравенства

При записи ответа внимательно отнеситесь к закрашенным точкам числовой прямой. Это решения неравенства. Дробное неравенство – НЕ ПРОПОРЦИЯ, поэтому отбрасывать знаменатель нельзя

1. Решите методом интервалов неравенства: б) 2. Найдите область определения функции: Вариант 1. а) Вариант 2. б) а) Самостоятельная работа !

Проверь своё решение 1. Решите методом интервалов неравенства: Вариант 1. Вариант 2. а) x x 0,4-4 Ответ: 2, – ++ – Ответ:

Проверь своё решение 1. Решите методом интервалов неравенства: Вариант 1. Вариант 2. Ответ: б) x 1/2 -3/2 ++ – x 1/3 -2/3 ++ – Ответ:

Проверь своё решение Вариант 1. Вариант Найдите область определения функции: x 6 0 – + Ответ: x –+ Решение. +

Оценка самостоятельной работы За каждый верно выполненный пример – поставьте 1 балл. 1 балл – удовлетворительно, «3». 2 балла – хорошо, «4». 3 балла – отлично, «5». 0 баллов – плохо, «2». !

Решение рациональных неравенств Умножим обе части такого неравенства на многочлен Знак исходного неравенства не меняется, (т.к ). Получаем неравенство, равносильное данному неравенству, которое решаем методом интервалов. Решение рациональных неравенств равносильно решению системы: Итак: !

Решить неравенство. Решение х + – + Ответ: [-3;0) [4;+) –

Учебник (а,в,д) 198 (а,б,в)

Самостоятельная работа Решите неравенства: Уровень А Уровень В Найдите область определения функции

Если «нераскладываемый» многочлен положительный при всех значениях переменных, то его опускают в неравенстве.

Решение /73 х + – Ответ: (- ; - 2) (4/7;3). Решить неравенство – + Так как х > 0 при любых х, то перейдем к равносильному неравенству

Учебник 199 (а,б)

Решим неравенство Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель, то говорят, что - х 0 корень многочлена кратности k. 1) Данный многочлен имеет корни: x = -5, кратности 6; x = -2, кратности 3; x = 0, кратности 1; x = 1, кратности 2; x = 3, кратности 5. 2) Нанесем эти корни на числовую ось. 3) Определим знак многочлена на каждом интервале. + + – – – – 4) Запишем ответ: 5) Рассмотрим смену знаков в корнях различной кратности. МННМ М ! 1

Учебник 199(в,г)

Решите неравенство 1 вариант: 2 вариант: Сделайте выводы о смене знака на интервалах, в зависимости от степени кратности корня.

Проверь своё решение Вариант 1. Вариант 2. Ответ: Ответ:

Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы: При четном k многочлен справа и слева от х 0 имеет один и тот же знак (знак многочлена не меняется). 2 При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется). 3 Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом. 1

Если корни нечетной кратности, то знаки на промежутках чередуются при переходе через корень. Если корни четной кратности, то знаки сохраняются при переходе через корень.

+ – ++ – + Решим неравенство x Ответ: –

. Решение х + – + Ответ: (1;5] {- 2} Решить неравенство +

Решение /3 х + – Ответ: [- 5; - 3) (- 3;- 2/3] Решить неравенство + –

Решить неравенство (x )(x – 4) Решение. (x + 4) (x 2 – 4x +16 ) (x – 4) – х + Ответ: (- ; - 4] {4}. (х )(x – 4) 4 = 0 (x + 4)(х 2 – 4x +16)(x – 4) 4 = 0 (x + 4) (x 2 – 4x +16) (x – 4) 4 0 х 2 – 4x +16 = 0 D = 16 – 64 < 0 +

В дробном неравенстве «совпадающие» множители в числителе и знаменателе переносятся в знаменатель

Решить неравенство. Решение. (х + 3)(х – 1) (х + 4)(х – 4) (х + 1) (х – 1)(х + 3) (х – 3) 0 В числителе и знаменателе есть одинаковые множители (х – 1) 2 (х +3) х + – + + – – + Ответ: (- ; - 4] (- 1; 1) (1;3) [4;+)

Решение. 16,25 х + – Ответ: (1; 6,25). Решить неравенство + Все члены неравенства перенесем в одну сторону и приведем к общему знаменателю, который отбрасывать нельзя

!

! Рефлексия. 1.Что вы ожидали от работы на данном уроке? Сравните свои предварительные цели и реально достигнутые результаты. 2. Какие чувства и ощущения возникали у вас в ходе работы? Что оказалось для вас самым неожиданным? 3. Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно? 4. Перечислите основные трудности, которые вы испытывали во время урока. Как вы их преодолевали?

Использованные источники 1.Учебник: Алгебра-9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010 – (В помощь школьному учителю). 3. Для создания шаблона презентации использовалась картинка и шаблон с сайта Изображение кота