Горбова Лидия Сергеевна, учитель математики МБОУ Бояркинской СОШ им. М.Е. Катукова

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Цели урока: повторить определение геометрической прогрессии; повторить формулу n-ого члена геометрической прогрессии; познакомить с практическим применением геометрической прогрессии; вывести формулу Sn.

Оборудование урока: интерактивный комплекс; дидактические карточки

Тип урока: урок-соревнование с использованием элементов дидактической игры.

План проведения урока повторение ранее изученного материала; подведение первого тура соревнования; знакомство с практическим применением геометрической прогрессии; вывод формулы Sn. решение задач; подведение второго тура соревнования; домашнее задание.

Задания для команд. Правильно ли дано определение геометрической прогрессии?

Числовая последовательность (отличных от нуля членов), каждый член которой, начиная со второго больше предыдущего на одно и то же число, называется геометрической прогрессией.

Правильный ответ Геометрической последовательностью называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Является ли геометрической прогрессией числовая последовательность ?

Для 1-ой команды 4, 16, 64,… Для 2-ой команды 1, 3, 9, 27,…

Для 1-ой команды 6, 6, 6, 6,….. Для 2-ой команды 16, 16, 16, 16,…..

Для 1-ой команды -2, 4, -8, 12,… Для 2-ой команды -4, , 1, 2,…

Какая из формул задает геометрическую прогрессию?

Для 1-ой команды Хn =2n Для 2-ой команды Xn=3n

Для 1-ой команды Bn=2n+1 Для 2-ой команды Bn=3n-1

Для 1-ой команды Zn=4х5n Для 2-ой команды Zn=-3х2n

Задача Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил сделку: «Я буду ежедневно в течении 30 дней приносить тебе по р. А ты мне в 1-ый день отдашь за коп, во 2-ой день – 2коп. И так каждый день будешь увеличивать предыдущее количество денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то завтра и начнем. Купец обрадовался такой удачи. Он подсчитал, что получит р. На следующий день они пошли к нотариусу и заверили сделку.

Ответьте на вопрос: Кто остался в выигрыше?

Решение задачи 1-ый день 1коп. 2-ой день 2 коп. 3-ий день 4коп. 4-ый день 8 коп. и так далее.

Что получится за последовательность?

В1=1, q=2 Получим геометрическую прогрессию В30=1·2^29=2^10·2^10·2^9=

В30=1024 ·1024 · 512= коп.

Сколько денег получал купец?

100000·30= рублей

А сколько он должен был отдать?

Для этого нужно сложить все отданные деньги, а затем из вычесть полученную сумму.

Как вы думаете есть ли какое-нибудь правило, которое позволит облегчить это вычисление?

Для этого достаточно иметь формулу для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Sn = b1+b2+b3+……+bn * (g) (1) Sn*g= b1*g+b2*g+b3*g+……+bn*g

Sn*g=b2+b3+b4+…..=bn-1+bn*g (2) Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1)

Sn*g- Sn= (b2-b1)+(b3-b2)+….+ +(bn-bn-1)+ bn*g=bn*g-b1

Sn (g-1) = bn*g-b1 =b1*g^(n-1)*g-b1= = b1 (g^n-1) Sn= b1 (g^n-1):(g-1)

Давайте найдем ответ для нашей задачи

S30 =1*(2^30-1) = коп.= = руб.24коп.

Так кто же выиграл от этой сделки? руб.24коп руб.= = руб.24коп.

НЕЗНАКОМЕЦ.

Народная мудрость гласит: Жадность всякому горю начало. Скупой, что бездонная кадка – ничем не наполнишь.