Выполнила: ученица 9 класса МОУ СОШ с. Замарайка Селищева Юлия.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Примером правильных многоугольников является равносторонний квадрат и треугольник, 5-тиугольник, 6-тиугольник и т.д. Формула для вычисления угла а n правильного n-угольника. Сумма всех углов такого n-угольника равна (n-2)*180,причем все его углы равны, поэтому а n= ( n-2): n*180.

Теорема Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. Доказательство. Пусть А 1 А 2 А 3 … Аn-правильный многоугольник, О - точка пересечения биссектрис углов А 1 и А 2 Соединим точку О отрезками с другими вершинами многоугольника и докажем, что ОА 1 =ОА 2 =…ОА n. Т.к. углы А 1 =А 2, углы 1=3, поэтому треугольник А 1 А 2 О равнобедренный, и, следовательно, ОА 1 -ОА 2. треугольники А 1 А 2 О=А 2 А 3 О равны по 2 сторонам и углу между ними (А 1 А 2 =А 3 А 2, А 2 О-общая сторона и угол 3 = углу 4), следовательно, ОА 3 =ОА 1. Значит ОА 4 =ОА 2, ОА 5 =ОА 3, и т.д. Итак ОА 1 =ОА 2 =…= ОА n., т.е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА 1 является описанной около многоугольника. Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, А1,А2, А3. Так как через эти три точки проходит только одна окружность, то около многоугольника А 1 А 2 … Аn можно описать только одну окружность. Теорема доказана.

Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Доказательство. Пусть А 1 А 2 …А n – правильный многоугольник, О – центр описанной окружности. В ходе доказательства теоремы о описанной окружности, мы установили, что треугольники ОА 1 А 2,ОА 2 А 3, ОА n А 1 равны, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны: ОН 1 =ОН 2 =…=ОН n. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом ОН 1 проходит через точки Н 1, Н 2,…,Н n и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. эта окружность вписана в данный правильный многоугольник. Докажем теперь, что вписанная окружность только одна. Предположим, что наряду с окружностью центра О и радиусом ОН 1 есть и другая окружность, вписанная в многоугольникА 1 А 2 …А n. Тогда её центр О 1 равноудалён от сторон многоугольника, т.е. точка О 1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т.е. равен ОН 1. таким образом вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана

Следствие 1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие 2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Пусть S-площадь правильного n-угольника, а n – его сторона, R и r радиусы, P – периметр соответственно вписанной и описанной окружности. S= 0,5* Pr а n = 2 R sin180/n r = R cos 180/n

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку. Решение Пусть РQ – данный отрезок. Построим окружность радиуса РQ и отметим на ней произвольную точку А 1. затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А 2, А 3,А 4,А 5,А 6 так, чтобы выполнялись равенства А 1 А 2 =А 2 А 3 =А 3 А 4 =А 4 А 5 =А 5 А 6. соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный 6-тиугольник А1А2А3А4А5А6.А1А2А3А4А5А6.

Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник. Решение. Пусть А 1 А 2 …А n – данный правильный n-угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы угловА 1 и А 2 и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса ОА 1. Для решения задачи достаточно разделить дуги А 1 А 2, А 2 А 3,…,А n А 1 пополам и каждую из точек деления В 1,В 2,…В n соединить отрезками с концами соответствующей дуги.