Российский университет дружбы народов Институт гостиничного бизнеса и туризма В.И. Дихтяр Теория и методология социально- экономических исследований в туристской индустрии Раздел 2.Количественные и вероятностные методы исследования Тема 2.2.Интервальные оценки. Распределения: нормальное, χ-квадрат и Стьюдента. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

Этапы маркетингового исследования 1.Обоснование целесообразности маркетингового исследования. 2.Постановка задачи. 3.Определение целей. 4.Разработка плана. 5.Идентификация вида информации и ее источников. 6.Выбор методов сбора информации. 7.Выбор способов представления собранной информации. 8.Определение содержания и размера выборки. 9.Сбор данных. 10.Анализ данных. 11.Подготовка и презентация заключительного отчета. 2

Обобщение (generalization) процедура получения оценок параметров генеральной совокупности на основе выборочных показателей позволяет понять, что представляют собой оценки разновидность логического вывода о свойствах группы, сделанного на основании информации о некоторых членах этой группы делая обобщение, исследователь формулирует вывод, основываясь на наблюдениях 3

Пример 2 человека2 человека купили автомобили "Chevrolet" и оба жалуются на их качество ? все автомобили этой марки никуда не годятся Один жалуется на автомобиль, а другой нет ? купившего плохой автомобиль надули выводы выводы зависят от того, какие наблюдения преобладают 20 человек20 человек приобрели автомобили "Chevrolet" и все жалуются на их качество выводы выводы более обоснованны, чем по двум наблюдениям 4

малое число, обычно α = 0.01, 0.05, 0.1 Выборка x 1, …, x n интервал (θ 1, θ 2 ) = [θ 1 (x 1, …, x n ), θ 2 (x 1, …, x n )] удовлетворяет равенству p(θ 1 < θ < θ 2 ) = 1 - α 5 Интервальные оценки. Уровень значимости α

Доверительный интервал θ 1, θ 2 (confidence interval) истинное значение θ попадает с вероятностью 1 - (θ 1, θ 2 ) не зависит от значения θ (θ 1, θ 2 ) доверительный интервал для θ с доверительной вероятностью p = 1 - часто находится в виде симметричного интервала относительно точечной оценки θ n (θ 1, θ 2 ) = (θ n - Δ, θ n + Δ) 6

7 Нормальное распределение Плотность распределенияФункция распределения ξ ~ N (m, σ)

График f(x) симметрия максимум х = m 8

Свойства f(x) Mξ = m, Dξ = σ 2 т = мода = медиана σ 1 < σ 2 < σ 3 9

10 Замечание: дисперсия характеризует отклонение от среднего Свойства F(x)

Стандартное нормальное распределение N(0, 1) m = 0, σ = 1 11

График Ф(х) 12

φ(х) Ф(х) Площадь под кривой φ(х) левее точки х равна Ф(x) 13

Свойства Ф(х) 14

Вероятность 15

Правило трех сигм Практически все значения нормальной случайной величины находятся в промежутке P( ξ - m 3σ) = 0,

Квантили N (0; 1) квантили обозначают z p : ξ ~ N (m, σ) 17

Функция НОРМРАСП Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения НОРМРАСП (x; m; σ;интегральная) x – значение, для которого строится распределение m – среднее арифметическое распределения σ – стандартное отклонение распределения Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции 18

Функция НОРМСТОБР Возвращает обратное значение стандартного нормального распределения НОРМСТОБР (вероятность) вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению 19

Первый замечательный факт Стандартизация независимо от истинного значения т, известно распределение статистики U 20

1. Дисперсия σ 2 известна 21 выборочное среднее

2 -распределение ξ 1, ξ 2, …, ξ k – независимые случайные величины, распределенные по стандартному нормальному закону: ξ 1, ξ 2, …, ξ k N(0, 1) Сумма квадратов этих случайных величин распределена по закону 2 с k степенями свободы 2 (k) = ξ ξ …+ ξ k 2 22

Графики плотности распределения 2 (k) 2 (k) имеет нулевую плотность распределения при х 0 При большом числе k распределение 2 (k) близко к нормальному 23

Функция ХИ2РАСП Возвращает одностороннюю вероятность распределения 2 ХИ2РАСП(x ; степени_свободы) x – значение, для которого требуется вычислить распределение степени_свободы это число степеней свободы распределения 2 24

Функция ХИ2ОБР Возвращает значение обратное к односторонней вероятности распределения 2 ХИ2ОБР(вероятность ; степени_свободы) вероятность – вероятность, связанная с распределением 2, значение в диапазоне от 0 до 1 степени_свободы это число степеней свободы распределения 2 25

неизвестна Дисперсия 2 неизвестна Выборка распределена по нормальному закону N (m, σ) и s 2 - выборочная дисперсия Какова бы ни была истинная дисперсия 2, распределение величины известно. 26

Второй замечательный факт σ исчез: статистика Стьюдента t-статистика 27

Распределение Стьюдента ξ N(0, 1) Разделим ξ на корень из 2 (k)/k Полученная случайная величина имеет распределение Стьюдента с k-степенями свободы 28

Графики плотности распределения Стьюдента Распределение Стьюдента симметрично, Mt(k) = 0. При больших k распределение Стьюдента близко к стандартному нормальному распределению N (0,1) 29

Функция СТЬЮДРАСП Возвращает вероятность для t-распределения Стьюдента СТЬЮДРАСП(x; k; b) x - численное значение, для которого требуется вычислить распределение k - количество степеней свободы b - число возвращаемых хвостов распределения = 1 одностороннее распределение = 2 двухстороннее распределение 30

Функция СТЬЮДРАСПОБР Возвращает обратное распределение Стьюдента СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы) вероятность – вероятность, связанная с двуххвостовым t-распределением Стьюдента степени_свободы – положительное целое число степеней свободы, характеризующее распределение 31

Правило 1 Дисперсия 2 нормальной генеральной совокупности известна доверительный интервал для т 32

Правило 2 33 Чем доверительная вероятность, тем шире доверительный интервал. При объема выборки п точность интервального оценивания параметра т растет пропорционально

Это справедливо и для нормального распределения, и для распределения Стьюдента. Поскольку u = z 1- /2, = t 1- / 2 (1-n): уровня значимости коэффициентов расширение доверительного интервала =:

Сводка отношений для нормально распределенной выборки 35

Правило 3: доверительный интервал для дисперсии Пусть 2 /2 (n - 1) и 2 1- /2 (n - 1) квантили распределения 2 (n - 1) соответствующего порядка. Площади левее первой и правее второй квантили = /2 Вероятность попасть в промежуток для случайной величины 2 (n - 1) =

Неравенство можно переписать для обратных величин: откуда Таким образом, построен доверительный интервал для. 37

Если выборка распределена по нормальному закону u s 2 выборочная дисперсия, то доверительный интервал для дисперсии 2 имеет вид 38