Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Дифференциал функции. Производные и дифференциалы порядка n

§6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци- руемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно x части и бесконечно малой более высокого порядка чем x, т.е. f(x 0 ) = A x + ( x),(1) где A – число, ( x) – б.м. более высокого порядка чем x. Слагаемое A x в выражении (1) (т.е. линейную относи- тельно x часть f(x 0 )) называют дифференциалом функции y = f(x) в точке x 0 и обозначают: dy(x 0 ), df(x 0 ).

ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной). Функция y = f(x) дифференцируема в точке x 0 она имеет в точке x 0 производную. При этом для ее дифференциала в точке x 0 справедливо равенство dy(x 0 ) = f (x 0 ) x.(2) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Очевидно, что соответствие (x 0 ; x) df(x 0 ) является функцией (двух переменных). Ее называют дифференциалом функции y = f(x) и обозначают dy, df(x). Замечание. Из теоремы 1 следует, что нахождение производной и дифференциала функции представляет собой по существу одну и ту же задачу. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци- руемой на интервале (a;b) если она дифференцируема (т.е. имеет производную) в каждой точке этого интервала. Функция y = f(x) называется дифференцируемой на отрез- ке [a;b] если она дифференцируема на интервале (a;b) и имеет соответствующие односторонние производные в точках a и b.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x 0. Тогда в x 0 функция f(x) имеет производную f (x 0 ). в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) касательная к кривой y = f(x). Таким образом, дифференциал функции y = f(x) в точке x 0 равен приращению ординаты точки на касательной к кривой y = f(x), которое соответствует приращению x.

ПРИМЕРЫ. Найти дифференциалы функций: 1) y = x 3 ; 2) y = x. Замечания. 1) Так как для дифференциала функции y = x справедливо dy = dx = x, то говорят: «дифференциал независимой переменной равен ее приращению». Учитывая этот факт, формулу (2) можно переписать в виде dy = f (x) dx.(3) 2) Из формулы (3) получаем, что производная y = f (x) явля- ется отношением 2-х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь.

2. Свойства дифференциалов Из теоремы 1 и правил дифференцирования получаем, что справедливы следующие утверждения 1)Дифференциал константы равна нулю, т.е. d(C) = 0, где C – константа. 2)Дифференциал суммы (разности) равна сумме (разности) дифференциалов, т.е. d(u v) = du dv. 3)Дифференциал произведения находится по правилу: d(u v) = du v + u dv. 4) d(C u) = C du, где C – константа. Говорят: «константа выносится за знак дифференциала». 5) Дифференциал дроби находится по правилу:

Рассмотрим дифференциал сложной функции y = f( (t)). Пусть функция x = (t) дифференцируема в точке t, функция y = f(x) дифференцируема в точке x = (t). Тогда производные x (t) и f (x) и сложная функция y = f( (t)) имеет производную в точке t, причем y (t) = [f( (t))] = f (x) x (t) Следовательно, функция y = f( (t)) дифференцируема в точке t и ее дифференциал в этой точке равен dy(t) = y (t) dt, dy(t) = f (x) x (t)dt, dy = f (x) dx.(4)

Сравним формулы (3) и (4): (3): dy = f (x) dx, где x – независимая переменная; (4): dy = f (x) dx, где x = (t) – функция. Таким образом, формула (3) справедлива вне зависимости от того, является ли x независимым аргументом или функцией. Поэтому формулу (3) называют инвариантной формой записи дифференциала. Замечание. Формула dy = f (x) x (2) не является инвариантной. Действительно, для сложной функции y = f( (t)) имеем: dy(t) = y (t) t = f (x) x (t) t. Но x (t) t x, т.к. x = dx + ( t) = x (t) t + ( t).

§7. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Производные высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X 1 D(f). Тогда на X 1 определена f (x). Функцию f (x) называют также первой производной функции f(x) (или производной первого порядка функции f(x)). Если f (x) дифференцируема на некотором множестве X 2 X 1, то (f (x)) называют второй производной функции y = f(x) (или производной второго порядка функции f(x) ) и обозначают Замечание. Значение второй производной функции f(x) в точке x 0 обозначают

Если f (x) тоже дифференцируема на некотором множестве X 3 X 2, то ее производную (f (x)) называют третьей про- изводной функции y = f(x) (или производной третьего порядка функции f(x)). Продолжая этот процесс, назовем n-й производной функции y = f(x) ее производную от производной порядка n – 1. Обозначают: – третья производная y = f(x); – четвертая производная y = f(x); – n-я производная y = f(x).

Производные порядка n > 1 называют производными высших порядков. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ второй производной. Если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то S (t 0 ) – скорость в момент времени t 0, S (t 0 ) – ускорение в момент времени t 0 (скорость изменения скорости) Справедливы следующие утверждения. 1) (C u) (n) = C u (n), где C – константа. Говорят: «константа выносится за знак n-й производной». 2)Производная n-го порядка суммы (разности) функций равна сумме (разности) n-х производных слагаемых, т.е. (u v) (n) = u (n) v (n).

3)n-я производная произведения находится по формуле: где u (0) = u, v (0) = v. Формула (1) называется формулой Лейбница.

2. Дифференциалы высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X 1 D(f). Дифференциал dy = f (x) dx – функция двух переменных x и dx = x. Зафиксируем значение dx. Тогда dy станет функцией одной переменной x. Дифференциал функции dy(x) (если он существует) называется дифференциалом второго порядка функции y = f(x) (или вторым дифференциалом функции y = f(x)) и обозначается d 2 y, d 2 f(x). d 2 y – функция переменной x. Дифференциал функции d 2 y (если он существует) называют дифференциалом третьего порядка функции y = f(x) (или третьим дифференциалом функции y = f(x)) и обозначается d 3 y, d 3 f(x).

Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка функции y = f(x) как дифференциал от диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают: d n y, d n f(x). Замечание. Значение дифференциала n-го порядка функции f(x) в точке x 0 обозначают d n y(x 0 ), d n f(x 0 ). Дифференциалы порядка n > 1 называют дифференциалами высших порядков. Если функция имеет дифференциал порядка n, то ее называют n раз дифференцируемой. ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференциала n-го порядка и n-й производной). Функция y = f(x) n раз дифференцируема в точке x 0 она имеет в точке x 0 производную порядка n. При этом для d n y(x 0 ) справедливо равенство d n y(x 0 ) = f (n) (x 0 ) (dx) n.(2)

Замечания. 1)Скобки в правой части формулы (2) обычно опускают, т.е. записывают ее в виде: d n y(x 0 ) = f (n) (x 0 ) dx n.(3) 2) Из формулы (3) получаем, что n-я производная y (n) = f (n) (x) является отношением 2-х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь. 3)Дифференциалы порядка n (n > 1) не обладают свойством инвариантности. Т.е. формула (3) не будет верной, если x – функция.