ABCD – тетраэдр. Точка М лежит на стороне AD и делит ее пополам, точка P – середина стороны ВС. Точка N делит сторону DC в отношении 5:3. (МNP) – сечение. Найдите, в каком отношении это сечение делит другие стороны тетраэдра.

Построим сечение: Соединим точки N и М и продолжим прямую МN до пересечения с прямой АС в т. S т. S и P принадлежат (АВС), поэтому соединим их и продолжим прямую PS до пересечения с прямой АВ в т. К. Четырехугольник МNРК – искомое сечение. Нужно найти отношение АК:КВ

1 способ: теорема Менелая 1. Воспользуемся т. Менелая в треугольнике ADC:

1 способ: теорема Менелая 2. Воспользуемся т. Менелая в треугольнике ABC:

2 способ: метод масс 1.DC:, N – центр масс, 3D, 5C 2.AD: М – середина, центр масс 3D, 3A 3.AS: C – центр масс; 5С, 3А 2S

2 способ: метод масс 1.ВС: Р – середина, центр масс, 5С, 5В 2.АВ: К – центр масс, 3А, 5В

3 способ: проективный метод (метод аппликат) Пусть (MNP)=(XOY) 1.DN:NC=5:3, Z D =5, Z C = -3 2.AM:MD=1:1, Z A = -5 3.BP:PC=1:1, Z B =3 AK:KB=5:3

ОТВЕТ: АК : КВ = 5:3