Презентация на тему: «Задачи на проценты в школьном курсе математики» Презентацию подготовила учитель математики средней школы 423 города Москвы Логвиненко Ольга Владимировна

Актуальность темы Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни.

Из истории: Само слово «процент» происходит от лат. «pro centum», что означает в переводе «сотая доля». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход. pro cento cento cto c/o %

Из истории: Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же величинах, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Из истории: Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню.

Из истории: В Европе проценты появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин. Он в 1584 г. впервые опубликовал таблицу процентов.

Из истории: «промилле» В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille – «с тысячи»), обозначаемые по аналогии со знаком % -

Определение процента:

Работа с процентами Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать знак % и разделить на 100.

Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %.

Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств.

Сложение процентов Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами. Чтобы сложить или вычесть проценты с числами, вначале нужно проценты перевести в дробь. 1% + 37% - 25% = 38% - 25% = 13% 60% + 4 = 0,6 + 4 = 4,6 7 - (42% + 3%) = % = 7 - 0,45 = 6,55

Умножение и деление процентов Чтобы умножить или разделить процент на число, нужно вначале перевести процент в дробь:

Основные типы задач на проценты Первая группа задач относится к той ситуации, когда даны количество А и некоторый процент p. Требуется найти количество, которое этот процент выражает. Вторая группа задач освещает обратную операцию – вычисление процентов по известным количествам.

Первая группа задач Вопрос 1 Каково количество, составляющее p% от А? Формула ответа: A Вопрос 2 Каково количество, p % от которого есть А? Формула ответа: А

Вопрос 3 Каково количество, большее чем А, на p%? Формула ответа: А Вопрос 4 Каково количество, меньшее чем А, на p %? Формула ответа: А

Вопрос 1 Сколько процентов составляет А от В? Формула ответа: % Вопрос 2 На сколько процентов А больше чем В? Формула ответа: % Вторая группа задач

Вопрос 3 На сколько процентов А меньше, чем В? Формула ответа: %

Изучение темы «Проценты» в школе Тема «Проценты» в учебнике для 5 класса общеобразовательных учреждений, авторы Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.

Задача 1 типа: Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика? Решение: 1200 кост. составляют 100% 1) 1200:100 =1,2 кост. составляет 1%. 2)12*32=384 кост. нового фасона Ответ: 384 кост. нового фасона

Задача 2 типа: За контрольную работу по математике отметку»5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе? Решение: Неизвестное число – 100%. 1) 12:30=0,4 учеников составляет 1%. 2 ) 0,4*100=40 учеников в классе. Ответ: 40 учеников в классе.

Задача 3 типа: В классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов учащихся правильно решили задачу? Решение: 40 учащихся составляют 100%. 1) 32: 40 =0,8 часть 2) 0,8 * 100=80 %. Ответ: 80 % учащихся правильно решили задачу.

Проценты в школьном курсе химии: Тема проценты широко распространена в школьном курсе по химии. Впервые учащиеся с ними сталкиваются в 8 классе и более усложненные задачи по химии встречаются вплоть до 11 класса. Эта тема представлена несколькими видами задач: массовая доля вещества в смеси и вещества в растворе. -вычисления с использованием значений массовой доли вещества в растворе или смеси. -вывод формулы вещества. - расчет теоретического и практического выхода продукта.

Массовая доля вещества в смеси и вещества в растворе Концентрацию растворов выражают в процентах. Содержание растворенного вещества в растворе, выражается в массовых долях. Массовой долей растворенного вещества, называют отношение его массы, к общей массе раствора и обозначают буквой W (омега). Обычно, массовую долю выражают в долях единицы (например, W=0.05, что означает, в данном растворе массой 100 г содержится 5,0 г вещества) или в процентах (0,05.100%=5%-ный раствор вещества. По отношению к растворам, процент (%) показывает, какая массовая доля растворенного вещества содержится в растворе массой 100 частей (мг, г, кг, и др.).

На химических олимпиадах, а также при сдаче экзаменов в вузы часто предлагают задачи, при решении которых нужно вывести формулу вещества на основании сведений о массовых отношениях или массовых долях элементов в нем. Этот тип расчетных задач учат решать в 8 классе. Еще более сложными считаются задачи, в которых формула вещества выводится на основании данных о количестве продуктов реакции, полученных экспериментально. Данный тип задач на % широко применим в органической химии.

Задачи на концентрацию и процентное содержание Задача 1. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды? Задача 2. Кусок сплава меди цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди. Задача 3.Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% - ным раствором и получили 600 граммов 15% - ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Задачи из ЕГЭ: Задание: Клиент взял в банке кредит рублей на год под 16 %. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? Решение: Через год клиенту придется вернуть сумму денег, на 16% большую изначально взятой в кредит суммы. Эта сумма составит =17400 рублей Клиент должен будет выплатить эту сумму денег в течение 12 месяцев, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег. Следовательно, каждый месяц клиенту придется вносить сумму, равную 17400:12=1450 рублям

Задачи из ЕГЭ Задание: В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? Решение: В 2009 г жителей составит: 100% +8%=108%(1,08) 400*1,08=43200 (чел) Число жителей в 2010: 100% +9%=109%(1,09) 43200*1,09=47088(чел) Ответ:47088

Задачи из ЕГЭ: Задание: Флакон шампуня стоит 200 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 15%? Решение: Флакон шампуня по 200 рублей со скидкой 15% будет стоить 200 (10.15)=170 рублей На 1000 рублей по 170 рублей можно будет купить 1000 :170=5 (остаток) еще останется некоторое количество нерастраченных денег, которых уже не хватит на еще один новый шампунь.

Задачи из ЕГЭ: Задание: В городе N живет жителей. Среди них 20% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает? Решение: Количество взрослых жителей города составляет 80% от его общего населения, что равняется = человек Количество работающих взрослых жителей города составляет 55% от общего количества взрослых жителей города, что равняется = человек Ответ:

Задачи из ЕГЭ: Задание: В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре? Решение. В октябре виноград подорожал на 60 * 0,25 = 15 рублей и стал стоить = 75 рублей. В ноябре виноград подорожал на 75 * 0,2 = 15 рублей. Значит, после подорожания в ноябре 1 кг винограда стоил = 90 рублей. Ответ: 90.

Формула простых процентов: S =α(1+ t p/m) S - итоговая сумма; α - начальная стоимость кредита; t - срок кредита; p - годовая процентная ставка; m – количество дней в году; Ежемесячный платеж : S кредит = S /12 t, где S кредит – сумма гашения кредита, S – размер кредита, t – срок кредитования, S кредит = const.

Формула сложных процентов: S = K (1+Pd/D/100) S – сумма депозита с процентами; K – сумма депозита (капитал); P- годовая процентная ставка; d – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу; D – количество дней в календарном году; n - число периодов начисления процентов