Непозиционные системы счисления Учитель информатики МОУ СОШ 10 Несмачная Г.В.
В непозиционных системах каждая цифра имеет свой вес и ее значение не зависит от положения в числе – от позиции. Пример – римская система. для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр: XXXV = = 35; CCXIX = –1+10 = 219;
(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5) Здесь дважды использован иероглиф 2, и в каждом случае он принимал разные значения 2000 и 20. 2´ ´ 100+2´ 10+5 = 2425
Алфавитные системы Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились славянская, ионийская (греческая), финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в древней Руси. Числа от 1 до 10 записывали так:
Над буквами, обозначавшими числа, ставился специальный знак титло. Это делалось для того, чтобы отличить числа от обычных слов: Интересно, что числа от 11 (один на десять) до 19 (девять на десять) записывали так же, как говорили, то есть «цифру» единиц ставили до «цифры» десятков. Если число не содержало десятков, то «цифру» десятков не писали. Удобны ли алфавитные системы?
Пример. Запишем в славянской записи числа 444 и 32: Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр». Но эти системы были удобны только для записи чисел до Правда, славяне, как и греки, умели записывать числа и большие Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак:
Число обозначалось той же буквой-что и 1, только без титла, ее обводили кружком: Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу».
«Цифры» различных систем счисления Вы уже познакомились с некоторыми системами счисления, которые существовали до наших времен. В каждой системе счисления использовались свои символы для записи чисел, которые мы называем «цифрами». В палочной системе счисления использовался единственный символ «палочка», то есть единственная цифра - 1. В древнеегипетской непозиционной десятичной системе счисления использовались следующие «цифры»: В вавилонской шестидесятеричной системе счисления основанной на позиционном принципе, использовалось два символа, два вида клиньев - и, которые и являются «цифрами» в этой системе счисления.
В римской непозиционной системе счисления в качестве «цифр» использовались следующие заглавные латинские буквы:
Знакомая нам римская система принципиально ненамного отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, С, D и М (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно: 1) сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);
2) разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только Х(10), перед D(500) и М(1000) -только С(100), перед V(5) только 1(1); 3) сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.
Календарь на каменной плите (3 4 век), найденный в Риме
Пример 1. Число 444, имеющее в десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D - С) + (L - X) + (V - I) = (три группы второго вида). Пример 2. Число 1974 в римской системе счисления имеет вид MCMLXXIV = М + (М - С) + L + (X + X) + (V - I) = = (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные «цифры»). Пример 3. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII = (X + X + X) + (I + I) = (две группы первого вида).