Построение гемодинамической модели по экспериментальным клиническим данным: обратная задача А.В. Михайлова (НГУ, Новосибирск) А.А, Черевко, А.П. Чупахин (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск) А.Л. Кривошапкин, К.Ю. Орлов, В.А.Панарин (ННИИПК, Новосибирск)

Постановка задачи Обратная задача 1 : Построение дифференциального уравнения описывающего связь между давлением и скоростью в кровеносном сосуде головного мозга методами идентификации систем дифференциальных уравнений 2. Работа основана на клинических данных, полученных во время реальных операций в нейрохирургическом центре ННИИПК им. акад. Мешалкина. 1 – А.Н.Тихонов, В.Я.Арсенин, Методы решения некорректных задач 2 – С.Ф.Редько, В.Ф.Ушаков, В.П.Яковлев, Идентификация механических систем

По сосуду течет кровь – ньютоновская вязкая жидкость Стенки кровеносного сосуда вязко-упругие (сложная трёхслойная структура, состоящая из эластина, пронизанного волокнами коллагена) Внешняя часть стенки сосуда – мышцы, рефлекторно реагирующие на пульсовую волну Сосуд погружен в мозговое вещество Рассматриваются значения давления (P) и скорости крови (V) в кровеносном сосуде, измеренные внутрисосудистым датчиком во время операции, заключающейся в эмболизации артерио-венозной мальформации (АВМ)

Аномалии сосудов головного мозга АВМ - патологическая связь между венами и артериями, вследствие которой осуществляется прямое шунтирование (сброс) крови из артериального бассейна в венозный.

Лечение: Внутрисосудистая хирургия – эмболизация (избирательная заклейка кровеносных сосудов) До операцииПосле операции

Физиология - «обкрадывание» близлежащего мозгового вещества Уменьшение сопротивления соответствующего участка кровеносной сети – отсутствие капиллярного участка Значительное увеличение скорости потока крови Понижение давления в подводящей артерии (аференте) и повышение его в дренирующей вене Влияние АВМ на мозг Нарушение нормального кровоснабжения, возможное кровоизлияние (разрыв сосуда)

Рентген-снимок АВМ Скорость Давление Клинические данные (исследуемый промежуток 15 мин, показания датчика снимаются 200 раз в секунду) Плоскость переменных V и P (без шумов) Рентген-снимок АВМ Скорость Давление

Выбор уравнения такого вида обусловлен наличием у него решений с замкнутыми траекториями (предельные циклы, притягивающие аттракторы) на фазовой плоскости. В качестве управляющей величины используется u – скорость крови. p – величина давления в кровеносном сосуде. Ищутся коэффициенты дифференциального уравнения. Коэффициенты отвечают за упругие свойства кровеносных сосудов. Коэффициенты отвечают за вязкое трение. По клиническим данным построена математическая модель – дифференциальное уравнение типа нелинейного осциллятора (1)

Очистка клинических данных от шумов с помощью вейвлет-преобразования. Дискретизация уравнения с использованием клинических данных на. Сведение его к переопределенной системе линейных уравнений с прямоугольной матрицей 1000х6. Сведение к системе с квадратной матрицей 6х6 методами обратных задач, что дает решение эквивалентной задачи о минимизации невязки исходной системы. Возвращение к дифференциальному уравнению, уже с известными коэффициентами. Решение полученного дифференциального уравнения для определения давления на, сравнение с клиническими данными Проверка структурной устойчивости полученного дифференциального уравнения и устойчивости его решения относительно вариации начальных данных. Получены модели для трех пациентов. Построение модели эмболизации – изменение коэффициентов уравнения в процессе операции (один пациент).

Для конечного набора значений функции в равноотстоящие моменты времени используется конечномерная аппроксимация где Δ равна шагу по времени, r соответствует сдвигу по оси времени, а s соответствует растяжениям. В качестве «материнской» функции ѱ для вейвлета Габора предлагается функция следующего вида в нашем случае значение ω полагается равным 6. Вейвлет разложение (фильтрация шумов)

До применения вейвлет-фильтра После Давление Скорость 30-ти секундный образец экспериментальных данных раскладывается по вейвлетам Габора. Коэффициенты разложения, соответствующие высоким и низким частотам, положены равными нулю

Используется дискретный аналог дифференциального уравнения (1) – разностное, которое получается с помощью преобразования Ω: Определение коэффициентов уравнения по интервалу для конкретного больного где с – отсчет времени.

Разностное уравнение Искомые коэффициенты вычисляются по интервалу. Обозначим скорость на этом интервале P 0 и давление V 0. Из P 0 и V 0 вначале вычитаются их средние значения (тренды) на интервале (, соответственно). Затем полученные данные обезразмериваются по формулам (2a, 2b). (2a) (2b)

Расчет шести коэффициентов дифференциального уравнения осуществляется по 1000 точек, поэтому мы имеем дело с переопределенной системой (матрица размера 1000х6). Чтобы решить такую задачу понадобятся некоторые сведения из теории некорректных задач. Пусть вещественная матрица размера. Псевдорешением системы ( ) называется вектор, реализующий минимум нормы невязки У системы ( ) как правило нет классического решения в силу ее переопределенности

Система уравнений ( ) называется нормальной системой по отношению к системе ( ). Задачи ( ) и ( ) эквивалентны, поэтому множество решений нормальной системы совпадает с множеством псевдорешений исходной системы. В нашем случае система уравнений ( ) имеет вид:

Матрица системы плохо обусловлена (число обусловленности ). Но, в силу показанной численно структурной устойчивости полученного дифференциального уравнения, погрешности в определении коэффициентов слабо влияют на решение (до 10%). Возвращаясь к дифференциальному уравнению, получим:

Для определения коэффициентов уравнения на 15-ти минутном промежутке времени (охватывающем эмболизацию) кроме коэффициентов уравнения, полученных по 5 секундному интервалу, используются только средние значения P, V и значения их амплитуд. Определение коэффициентов уравнения на 15 минутном промежутке времени t

Аналогичные результаты получены еще для двух пациентов с такой же патологией: пациент Ш1, 41 год. Артерио-венозная мальформация левой лобной доли размерами 26х20х17мм Осложнения: Интраоперационный разрыв АВМ пациент С1, 24 года. Артерио-венозная мальформация левой височной доли размерами 33,5 х 22,5 х 25 мм.

Пациент Ш1 18:23:54 – 18:24:5018:27:36 – 18:28:3018:29:12 – 18:29:56

Пациент С1 9:24:28 – 9:25:069:27:12 – 9:27:569:29:04 – 9:29:509:29:54 – 9:30:36

Конкретный больной Набор коэффициентов уравнения, различный для больного и здорового состояния Построена модель - дифференциальное уравнение, которое хорошо аппроксимирует клинические данные. Среднеквадратичное отклонение для пациентов Т1, С1, Ш1 составляет 3-6 %. Решение этого уравнения структурно устойчиво (малое изменение коэффициентов уравнения слабо влияет на поведение решения)

Коэффициенты отвечают за упругие свойства кровеносных сосудов, а коэффициенты отвечают за диссипацию Изменение коэффициентов уравнения в процессе операции

PV диаграмма Давление и скорость при фиксированном состоянии пациента (до и после операции) являются приближенно периодическими функциями времени. Этот процесс описывается замкнутой кривой (типа предельного цикла) на фазовой плоскости «скорость-давление». Медленное изменение коэффициентов уравнения в процессе эмболизации порождает дрейф предельного цикла в сторону повышения давления и уменьшения скорости. Этот дрейф описывает переход из больного состояния в здоровое и отвечает успешной операции.

Больной Здоровый «больные» коэффициенты уравнения «здоровые» коэффициенты уравнения операция С помощью коэффициентов, полученных на пятисекундном интервале, описано изменение коэффициентов для промежутка времени, охватывающего эмболизацию

Выводы Предложен метод построения дифференциального уравнения, описывающего связь между давлением и скоростью в кровеносном сосуде головного мозга на основании клинических данных, полученных во время реальных операций. Метод позволяет вычислять давление по скорости на больших промежутках времени (около 10 минут), построив дифференциальное уравнение по малому промежутку времени (несколько секунд). Метод применен для трех пациентов cо схожими патологиями. Измерения проводились в одних и тех же сосудах головного мозга, поэтому диапазон полученных коэффициентов можно назвать типичным для данного сосуда.

Спасибо за внимание