Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10. Деление с остатком. Разложение натурального числа на простые множители. Делитель общий, кратное общее. Делитель общий наибольший, кратное общее наименьшее. Целые числа. Противоположные числа. Действия над целыми числами.

На 2 делятся все четные натуральные числа, например: 172, 94,67 838, На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3. На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4 На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3) На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.

На разрядную единицу делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы. Например: делится на 10, 100 и 1000.

Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 225 = 3 · 3 · 5 · 5, 1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7.

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делителем каждого из них. Например, числа 36, 60, 42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД). Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо: 1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, 2) записать степени всех простых множителей: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 3 · 3 2 · 5 1, 3) выписать все общие делители (множители) этих чисел; 4) выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях; 5) перемножить эти степени.

П р и м е р. Найти НОД чисел: 168, 180 и Р е ш е н и е. 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1, 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1, 3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1. Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3 и перемножим их: НОД = 2 2 · 3 1 = 12.

Целые числа – это натуральные числа и ноль: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ….

Противоположное число по отношению к числу это число, которое при сложении с даёт нуль. Таким образом, противоположные числа имеют одинаковые модули, но противоположные знаки.числонульмодулизнаки Когда число является положительным, то противоположное ему число будет отрицательным, и наоборот.положительнымотрицательным Нуль не имеет противоположного числа Нуль

Сложение Вычитание Умножение Деление Возведение в степень

a + b = b + a - переместительное свойство (a + b) +c = a + (b + c) - сочетательное свойство a + 0 = a - свойство нуля a + (-a) = 0 - сумма противоположных чисел

a - (b + c) = a - b - c вычитание суммы чисел от числа (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) - вычитание числа от суммы a - 0 = a - свойство нуля 0 - a = -a - свойство нуля

a· b = b· a - переместительное свойство (a · b)· c = a· (b · c) -сочетательное свойство (a - b)· c = a · c - b · c - распределительное свойство (a + b)· c = a · c + b · c - распределительное свойство a · 1 = a - свойство единицы a · 0 = 0 - свойство нуля a1a=1a=0 - свойство обратных чисел

(a · b) : c = a · (b : c) = (a : c) · b - деления произведения на число (a + b) : c = a : c + b : c - деление суммы на число (a - b) : c = a : c - b : c - деление разности на число a : (b ·c) = (a: b) :c = (a : c) : b - деление числа на произведение a : 1 = a; 0 : a = 0 ; a : a = 1, a=0- свойство единицы и нуля