Нормальный закон распределения Лекция 18

План лекции Нормальный закон распределения. Свойства нормального закона распределения Функции нормального закона распределения. Асимметрия и эксцесс. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Доверительные вероятности, доверительный интервал.

Нормальный закон распределения случайных величин Нормальное распределение возникает тогда, когда на изменение случайной величины действует множество различных независимых факторов, каждый из которых в отдельности не имеет преобладающего значения.

Кривая нормального распределения (Гаусса)

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Параметр характеризует математическое ожидание (среднее арифметическое) случайной величины, являясь центром распределения и наиболее вероятным значением. Изменение математического ожидания не влияет на форму кривой, а только вызывает ее смещение вдоль оси x. Пример: Рост в группе 101-M(x)=170 см, σ=5 см 102-M(x)=175 см, σ=5 см

Пример:

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Параметр характеризует изменчивость случайной величины (меру растянутости кривой вдоль оси x): чем больше, тем больше кривая растянута. Пример: Рост в группе 101-M(x)=170 см, σ=5 см 102-M(x)=170 см, σ=10 см

Пример: σ=10 σ=5

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: График нормальной кривой симметричен относительно прямой x= (одинаковые по абсолютной величине отрицательные и положительные отклонения случайной величины от центра равновероятны). По мере увеличения разности (x– ) значение f(x) убывает. Это значит, что большие отклонения менее вероятны, чем малые. При (x– ) значение f(x) стремится к нулю, но никогда его не достигает.

Функции нормального закона: Функция плотности распределения вероятностей Функция распределения вероятностей

Задача: Записать функции нормального закона для распределения студентов по росту: M(X)=170 см; σ=5 см

Нормальное распределение с параметрами M(x)=0 и σ=1 называется нормированным Функция плотности распределения вероятностей Функция распределения вероятностей

Характеристики кривой нормального распределения: Коэффициент асимметрии Показатель эксцесса

КОЭФФИЦИЕНТ АСИММЕТРИИ А>0 - правоасимметричные, А

ПОКАЗАТЕЛЬ ЭКСЦЕССА f(x) Х Для нормального распределения показатели А=0, и Е=0

Нормированное отклонение: Нормированным отклонением называется отклонение случайной величины x,от её математического ожидания, выраженное в единицах σ

Найти нормированное отклонение для x=166 см, если M(x)=170 см, σ=5 см. -0,8σ

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от - до x: Функция F(x) не выражается через элементарные функции, но для нее составлены таблицы, которые называются таблицами нормального интеграла вероятности

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от а до b: причем Ф(–t) = 1– Ф(t) =Ф(t 2 )-Ф(t 1 )

Значение нормальной функции распределения Ф(t) tФ(t)t t 0,10 0,53980, , , , , , ,50 0,6915 0, , , , , , , , , ,90 0,8159 0, , , , , ,928212

Задача: Найти вероятность попадания случайной величины в интервал от 155 см до 160 см если M(x)=170 см, σ=5 см. Ф(-2)-Ф(-3)=(1-Ф(2))-(1-Ф(3))=(1-0,9772)-(1-0,9986)= 0,0228-0,0014=0,0214=2%

Интервальные оценки нормированное отклонение х – μ=σt 1σ – 68,3%; 2σ – 95,5%; 3σ – 99,7% всех вариант Закон 3 : в пределах 3σ находится 99,7% всех вариант

Доверительные вероятности и доверительные интервалы Вероятности 0,95 и 0,99 (95% и 99%) – доверительные вероятности Δх=± t – доверительный интервал ВероятностиИнтервалы 0,95 1,96 0,99 2,58 0,999 3,03

Уровни значимости Определенным значениям доверительных вероятностей соответствуют так называемые уровни значимости ( ). Уровень значимости обозначает вероятность выхода случайной величины за пределы доверительного интервала. Если доверительную вероятность обозначить – Р, а уровень значимости –, то =1 – Р.

Доверительные вероятности Уровни значимости 0,950,05 0,990,01 0,9990,001

95% доверительный интервал

Задача: Найти доверительный интервал для роста студентов с вероятностью p=0,95 ( =0,05); M(x)=170 см, σ=5 см Δх=1, см Следовательно, рост студентов находится в интервале:

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.