Скалярное произведение векторов МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Угол между векторами a b О А В α ( a; b ) = (ОА; ОВ) = α

Определите угол между векторами a b 30 о с k n d m p

Определение скалярного произведения Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a b = a b cos ( a; b ) Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b = 0 a b

Скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины. a a = a 2 = |a| 2 a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Теорема: Теорема: скалярное произведение векторов a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } выражается формулой Скалярное произведение в координатах

Следствие 1: Следствие 1: ненулевые векторы a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } перпендикулярны тогда и только тогда, когда x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 Следствие 2: Следствие 2: косинус угла между ненулевыми векторами a{x 1 ; y 1 } и b{x 2 ; y 2 } выражается формулой x 1 x 2 + y 1 y 2 x y 1 2 x y 2 2 cos α = Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения 1 о 1 о a 2 0, причем a 2 > 0 при а 0. 2 о 2 о a b = b a (переместительный закон). 4 о 4 о ( k a ) b = k ( а b ) (сочетательный закон). 3 о 3 о ( a + b ) с = а с + b с (распределительный закон). Для любых векторов a, b и c и любого числа k справедливы соотношения: