Дифференциал функции Лекция 8

План лекции Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Частные производные. Полный дифференциал. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Исследование функций.

y – приращение ординаты кривой; dy – приращение ординаты касательной; Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал Дифференциал dy - главная часть бесконечно малого приращения функции y Дифференциалом dx называют приращение x, то есть dx= x

Вычисление дифференциалов

Дифференциалы сложных функций

Приближенные вычисления с помощью дифференциала Значение функции в точке х, близкой к некоторой точке х 0, можно вычислить, если заменить приращение функции y ее дифференциалом dy Положим х 0 =2.3 и х=0.1. Тогда y=2.4 2 – =1.657 dy=3·2.3 2 ·0.1=1.587

Функции нескольких переменных. Частная производная Объем кругового цилиндра Функция n переменных Частная производная по х

Исследование функций

Типичные функции

Основные характеристики и свойства функции Y=f(X) - Область значений y и х -Постоянство или монотонность функции на отрезке - Нули функций - Разрывы и полюса функции - Экстремумы, минимумы и максимумы функции - Перегибы функции - Асимптоты функции - Вогнутость и выпуклость функции

Постоянство и монотонность функции Для того чтобы функция f(x) была постоянной на отрезке [a,b], нужно, чтобы производная этой функции была равна нулю на этом отрезке. Для того, чтобы функция f(x) была монотонной на отрезке [a,b], нужно чтобы производная не меняла своего знака на этом отрезке и не обращалась тождественно в нуль ни в какой точке или промежутке, составляющем часть отрезка.

Нули функции: решения уравнения Y(X) =0 Полюса функции: значения Х, при котором Y стремится к бесконечности

Минимумы и максимумы функции Функция f(x) имеет в точке х 0 минимум (максимум), если в некоторой окрестности этой точки ее значения больше (меньше) значения f(x 0 ) Экстремум = минимум или максимум Необходимое, но недостаточное условие существования экстремума: экстремум функции достигается в точках, где значение производной равно нулю. Контр-пример: Достаточное условие: Если первая производная в точке х 0 равна нулю, а вторая производная - больше нуля, то функция имеет минимум; Если первая производная в точке х 0 равна нулю, а вторая производная меньше нуля, то функция имеет максимум

Правило нахождения экстремума

Перегибы, выпуклость и вогнутость функции Если вторая производная в точке М больше нуля, то кривая в той точке вогнутостью направлена вверх. Если вторая производная в точке М меньше нуля, то кривая в той точке вогнутостью направлена вниз. Если вторая производная в точке М равна нулю, то М – точка перегиба

Асимптоты функции Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то такая прямая называется асимптотой кривой

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР- Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.