Числовые характеристики случайных величин Лекция 16

План лекции Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Зачем нужны числовые характеристики? Каждый закон распределения представляет собой функцию и указание этой функции полностью описывает случайную величину. Однако во многих случая нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Часто бывает достаточно указать некоторые числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения. Такие характеристики называют числовыми характеристиками случайных величин

Характеристики положения Эти показатели характеризуют положение случайной величины на числовой оси – указывают ориентировочное значение, вокруг которого группируются все возможные значения случайной величины. Основной и наиболее часто используемой характеристикой положения является математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Пусть дискретная случайная величина Х принимает значения х 1, х 2, …., х n с вероятностями p 1, p 2, …., p n. Нам нужно охарактеризовать положение значений случайной величины на числовой оси с учетом того, что эти значения имеют разные вероятности. С этой целью вводится величина математического ожидания M[X] случайной величины х:

математического ожидания и среднее значение для конечного набора случайных величин Конечный набор случайных величин. Каждая из них может выпасть с равной вероятностью 1. Среднее значение случайной величины: 2. Математическое ожидание. Вероятность р(i) реализации каждой из случайных величин p(i) =1/n. Тогда

Математическое ожидание непрерывной случайной величины f(x) – функция плотности распределения случайной величины х

Операции с математическим ожиданием Математическое ожидание случайной величины – неслучайная величина

Проблемы с мат.ожиданием или зачем нужна дисперсия Пример: вычисления мат.ожидания для случайных чисел x и y x 1 = -1; х 2 = 0; х 3 = +1; М[x]=0 y 1 = -100; y 2 = 0; y 3 = +100; М[y]=0 Что делать? Можно ли, например, в качестве дополнительной числовой характеристики случайных величин использовать сумму отклонений этих величин от мат.ожидания? Дисперсия D[x] случайной величины

Расчет дисперсии для приведенных выше примеров xx2x D[x]0, D[x]6666,667

Дисперсия непрерывных случайных величин Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)

Свойства дисперсии

Медиана случайной величины M e – такое значение случайной величины х, для которого выполняется следующее условие: Геометрическая медиана - это абсцисса точки, в которой площадь ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам.

Пример 1: Функция плотности распределения Задание: найти, мат.ожидание и дисперсию случайной величины х 1.Найдем коэффициент а:2. Найдем мат.ожидание: 3. Найдем дисперсию

Пример 2: в стране – эпидемия… В больнице находится 100 больных, из них у 90 больных температура 40 0 С, а 10 человек уже отмучались и лежат в морге, где температура воздуха 6 0 С. Спрашивается, каково математическое ожидание температуры тела пациентов в больнице? Каков смысл такого значения математического ожидания? На что указывает такое значение? Что нужно делать с таким числом? Можно ли как-то исправить ситуацию?

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.