ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Лекция 3

План лекции: Понятие вектора. Действия над векторами. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Размерность линейного пространства. Базис линейного пространства Скалярное произведение двух векторов Системы координат.

Вектором называют любую конечную последовательность чисел: а 1,a 2,...,a n. При этом сами числа а 1,a 2,...,a n называют координатами вектора. Координаты вектора получаются вычитанием из координат его конца соответствующих координат начала.

Определение вектора Определим вектор как набор N чисел. Можно определить вектор-столбец и вектор-строку Понятие вектора позволяет существенно упростить операции с большими структурированными наборами чисел.

Векторы с 1,2 или3 координатами - это направленные отрезки на прямой, плоскости, в пространстве

Два вектора (а 1,a 2,...,a n ) и (b 1,b 2,...,b m ) называются равными в том и только том случае, если они имеют одинаковое число координат (n= т) и если их соответственные координаты равны между собой: a 1 =b 1 ; a 2 = b 2,..., а п =b п. Равенство векторов пишется так: а =b.

Сумма векторов а и b определяется равенством а + b =(а 1 +b 1,a 2 +b 2,…,a n +b n ). Например, (1, –1,0,3,8) + (4,3, – 3, –5, –7) = (5,2, –3, –2,1). Произведением вектора а = (а 1,a 2,...,a n ) на число k называют вектор ka, определяемый равенством ka = (kа 1,ka 2,..., ka n ). Умножение вектора на число сводится к растяжению при |k| > 1 или сжатию при |k| 0 или с заменой на противоположное при k< 0

Сложение векторов Два вектора равны, если равны все их компоненты. Сумма двух векторов x и y записывается как x+y и определяется как вектор Разность двух векторов х-y есть вектор z, такой, что y+z=x

Умножение вектора на скаляр

Cвойства операций: коммутативность: а + b = b + а; ассоциативность: (а + b) + с = а + (b + с), k(lа) = (kl)а; дистрибутивность: (k+ l)а = kа + lа, k(а + b) = ka+ kb. Вектор, все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором (0). Вектор (–1)а называется противоположным вектору а (обозначается –а). а+(–а) = 0.

Линейно зависимые и линейно независимые векторы Множество L называют линейным пространством (или векторным пространством), а его элементы – векторами, если: 1. На этом множестве задана операция сложения: каждым двум векторам а и b из L сопоставлен некоторый третий вектор из L, обозначаемый а + b и называемый суммой векторов а и b; 2. Задана операция умножения векторов на числа: каждый паре а, k (вектор а и число k) сопоставлен некоторый вектор, обозначаемый kа и называемый произведением вектора a на число k;

3. Эти операции удовлетворяют следующим требованиям: а + b = b + а для любых векторов а и b; (а + b) + с = а + (b + с) для любых трех векторов a, b и с; существует единственный вектор 0 такой, что а + 0 = а для любого вектора а; для любого вектора а существует единственный вектор а' такой, что а + а' = 0; 1·а = а для любого вектора а; k 1 (k 2 a) = (k 1 k 2 )a для любых чисел k 1 и k 2 и любого вектора а; (k 1 + k 2 )a = k 1 a + k 2 a для любых чисел k 1 и k 2 и любого вектора а; k (a +b) = ka +kb для любого числаk и любых векторов а и b.

Примеры линейных пространств векторы плоскости (обозначение R 2 ) нашего пространства, в котором мы живем, его называют трехмерным (определяется тремя измерениями: длиной, шириной, высотой) и обозначают R 3 Обобщением этих пространств является пространство R n векторов (а 1,a 2,..., a n ), имеющих n координат (n– мерных векторов).

Пусть а 1,a 2,..., a p – множество векторов из пространства L. Возьмем произвольные числа k 1, k 2,…, k p и составим вектор а = k 1 а 1 + k 2 a a p k p. Любой вектор а данного вида называется линейной комбинацией векторов а 1,a 2,..., a p, а числа k 1, k 2,…, k p – коэффициентами этой линейной комбинации.

Пример а 1 = (2,–1,4,0), а 2 = (3, –5, –2,2), а 3 = (–3, 6, –8,5), то линейная комбинация 3а 1 –2 а 2 – а 3 = (6, –3,12,0) –(6, –10, –4,4) – (– 3,6, –8,5) = (3,1,24, –9). вектор b является линейной комбинацией векторов а 1 и а 2, т.к. b = 3а 1 + 2a 2.

Векторы а 1,a 2,...,a p называются линейно зависимыми (или образующими линейно зависимую систему), если существуют такие числа с 1 с 2,..., с р, не равные одновременно нулю, что справедливо равенство: с 1 а 1 + с 2 a 2 +с р a p = 0. Если же это равенство возможно только в случае с 1 = с 2 =... = с р = 0, то векторы а 1,a 2,...,a p называются линейно независимыми (образующими линейно независимую систему).

Условия линейной зависимости и независимости векторов 1.Всякая система векторов, содержащая нуль–вектор 0, линейно зависима. 2.Если k (k< р) векторов системы а 1,a 2,...,a p линейно зависимы, то и вся система линейно зависима. 3.Если из системы линейно независимых векторов а 1,a 2,...,a p удалить r (r

Теорема Векторы а 1,a 2,...,a p линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных. Линейное пространство L называется n–мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов являются линейно зависимыми.

Базисом n–мерного линейного пространства L называется любая упорядоченная система n линейно н В пространстве R n Пример такой системы в пространстве R n : е 1 =(1,0,…,0), e 2 =(0,1,…,0), ……………. e n =(0,0,…,1).

Теорема 1. Если в пространстве L некоторая система n-мерных векторов обладает свойством, что определитель, строками которого являются данные векторы, не равен нулю, то эти векторы образуют базис в L. Теорема 2. Разложение произвольного вектора а по базису всегда единственно. Числа k 1,k 2,...,k n – коэффициенты разложения вектора а по некоторому базису – называются координатами вектора а в этом базисе.

Пусть даны два линейных пространства L 1 и L 2. Предположим, что между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию). Если элемент х L 1, а у L 2, то факт их взаимно однозначного соответствия записывается так: х у. Предположим также, что если х 1у 1 и х 2у 2 то х 1 +х 2у 1 + у 2 и αх 1 αу 1, где α – любое действительное число. Если выполнены эти условия, то пространства L 1 и L 2 называются изоморфными.

Теорема 3. Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность. Например, изоморфны множество всех векторов трехмерного пространства и множество последовательностей из R 3, каждая из которых содержит три числа.

Скалярное произведение двух векторов Скалярным произведением двух векторов х = (х 1, х 2,…, х п ) и у=(у 1,у 2,…,у п ) называется число (х,у)= х 1 у 1 + х 2 у 2 +… х п у п =

Скалярное произведение двух векторов (х, х) – квадрат длины вектора х

Свойства скалярного произведения (х, у) = (у, х) – коммутативность; (х, у + z) = (х, у) + (х, z) – дистрибутивность; (kx, у) = k(х, у), k – любое действительное число; (х, х) > 0, если х – ненулевой вектор; (х, х) = 0, если х –нулевой вектор

Линейное пространство L, в котором введена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством. Длиной (модулем) вектора х называется число: или

Свойства модуля вектора |x| = 0 тогда и только тогда, когда x = 0; |kх| =|k|·|х|. k – любое действительное число; |(x, у)| |х|·|у| (неравенство Коши – Буняковского); |x + у| |х| + |у| (неравенство треугольника).

Пусть х и у – два ненулевых вектора. Углом между ними называют число φ, определенное с помощью равенства φ с b a

Векторы х и у называются перпендикулярными или ортогональными друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Нулевой вектор ортогонален любому другому. Систему векторов а 1,a 2,...,a p в евклидовом пространстве L называют ортогональной, если любые два различных вектора этой системы ортогональны друг другу.

Ортогональность векторов

Вектор е называют нормированным или единичным, если его модуль равен 1. Систему векторов e 1, е 2,…,е р называют ортонормированной, если любые два вектора этой системы ортогональны друг другу и если модуль каждого из них равен 1. В n–мерном евклидовом пространстве система n ортонормированных векторов образует ортонормированный базис.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Ганичева А.В., Козлов В.П. Математика для психологов. М.: Аспект-пресс, 2005, с Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, Журбенко Л. Математика в примерах и задачах. М.: Инфра-М, 2009.