Проверка статистических гипотез Лекция 20

План лекции: 1.Проверка статистических гипотез. 2.Критерии асимметрии и эксцесса. 3.Критерий Пирсона.

Согласие теоретического и статистического распределения Если между теоретической кривой распределения F(X) и эмпирической функцией распределения существуют различия, то возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения некоторыми случайными обстоятельствами, или же они связаны с тем, что эмпирическая функция распределения не описывается теоретической кривой? Для ответа на этот вопрос используются критерии согласия. Нулевая гипотеза Н: случайная величина Х подчиняется определенному закону распределения. Для того, чтобы принять или опровергнуть нулевую гипотезу, введем некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретической и эмпирической функций распределения.

критерий хи-квадрат Как бы точно не вычислялись теоретические частоты они, как правило, не совпадают с эмпирическими частотами ряда. Отсюда возникает необходимость сопоставления эмпирических частот с вычисленными, или ожидаемыми, частотами, с тем, чтобы установит достоверность или случайность наблюдаемого между ними расхождения. Нулевая гипотеза сводится к предположению, что несоответствие эмпирических частот частотам, вычисленным по тому или иному закону распределения, - совершенно случайное, т. е. между вычисленными и эмпирическими частотами никакой разницы нет. Для проверки нулевой гипотезы используются особые критерии. Одним из наиболее часто применяемых служит критерий χ2, предложенный к. Пирсоном в 1900 г. Этот критерий представляет сумму квадратов отклонений эмпирических частот (p) от частот теоретических или ожидаемых (p'), отнесенную к теоретическим частотам (p')

« -квадрат» критерий

Унимодальность и бимодальность эмпирической статистики В больнице 10 больных, из них у 9 температура 40 0 С, а один уже отмучился, лежит в морге, где температура воздуха 6 0 С. Спрашивается: какова средняя выборочная температура по больнице?

Сравнение теоретических и эмпирических распределений Нулевая гипотеза. Согласно этой гипотезе первоначально принимается, что между эмпирическим и теоретическим распределением признака в генеральной совокупности достоверного различия нет. H 0 – нулевая гипотеза H1 –альтернативная гипотеза

Средние квадратические ошибки s А (асимметрии) и s Е (эксцесса) Для достаточно большой выборки (n>30), если показатели асимметрии (А) и эксцесса (Е) в два и более раза превышают показатели их средних квадратических ошибок, гипотезу о нормальности распределения нужно отвергнуть. Для P=0,95 t=1,96 ( 2)

Сравнение теоретических и экспериментальных распределений по: а) критерию Колмогорова – Смирнова, б) критерию Пирсона. Пунктирная линия – эмпирическое распределение, сплошная – теоретическое распределение.

Критерий Пирсона где m i – экспериментальные частоты попадания значения случайной величины в интервал, np i – теоретические частоты.

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от а до b: причем Ф(–t) = 1– Ф(t) =Ф(t 2 )-Ф(t 1 )

Критерий 2 m Эксперимент. частоты np i Теоретические частоты 431/ / / /10 341/4 =0,94

Число степеней свободы – это общее число величин, по которым вычисляются соответствующие статистические показатели, минус число тех условий, которые связывают эти величины, то есть уменьшают возможности вариации между ними. Число степеней свободы определяется по следующей формуле: df=k–r–1, где k – число интервалов, r – число параметров предполагаемого распределения. Для нашего случая r=2, следовательно, df=k–3. По заданному уровню значимости ( ) и числу степеней свободы df, находим критическое значение 2 кр (,df). Если 2 эмп < 2 кр гипотеза о согласии эмпирического и теоретического распределения не отвергается.

2 кр ( =0,05,df=2)=5,99 0,94

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА: Основная литература: Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики. М., ГЭОТАР-Медиа, 2005, с Ремизов А.Н., Максина А.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике. М., Дрофа, Учебно–методические пособия: Шапиро Л.А., Шилина Н.Г. Руководство к практическим занятиям по медицинской и биологической статистике Красноярск: ООО «Поликом». – 2003.