Исследовательская работа на тему: «Вневписанная окружность» Секция « математика » Выполнила: Маломагомедова Людмила ученица 9 класса МБОУ КИРОВСКАЯ СОШ

Цель исследования: 1. Ввести определение вневписанной окружности треугольника. 2.Рассмотреть свойства вневписанных окружностей треугольника. 3. Показать применение свойств вневписанной окружности при решении задач на доказательство, построение и вычисление.

Методы исследования: метод теоретического анализа учебной литературы; метод обобщения справочных и познавательных материалов первоисточников; практическое применение при решении задач ГИА и ЕГЭ.

Определение. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон О А В С М N H

Свойство 1.Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника Дано: АВС Окр. (О; r) М, N, К – точки касания Доказать (1) Решение: Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д. А В С О К М N

Свойство 2.Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ 1 = АС 1 = p Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать, что АВ 1 = АС 1 = p Доказательство: Т.к. О а - центр вневписанной окружности. Касательные, прове - денные к окружности из одной точки, равны между собой, поэтому ВВ 1 = ВА 1, СА 1 = СС 1, АВ 1 = АС 1. Значит, 2p = (AC + СА 1 ) + (AB + ВА 1 ) = (AC + CC 1 ) + (AB + BB 1 ) = AC 1 + AB 1 = 2AC 1 = 2AB 1 т.е. АВ 1 = АС 1 = p. ОаОа В1В1 ra ra ra ra ra ra А В С С1С1 А1А1 α/2

Теорема1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. r a = p·tg, r b = p·tg, r c = ptg Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать: Решение: В прямоугольном треугольнике А О а С 1 r a и p – длины катетов, угол О а А С 1 равен, поэтому r a = ptg. А В С ОаОа p p В1В1 С1С1 b c ra ra ra ra ra ra

Теорема2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. r a =, r b =, r c = Дано: АВС Вневписанная окр. ( О а ; r a ) Доказать r a =, r b =, r c = Решение: Имеем S = S ABC = S AOaC + S BOaC – S BOaC = × (b + c – a) = r a × (p – a), т.е. r a = А В С ОаОа p p В1В1 С1С1 b c ra ra ra ra ra ra

Теорема3. Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. r a + r b + r c = r + 4R Доказательство: Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника: r =, R =, r a =, r b =, r c = Значит, r a + r b + r c – r = = = = = = 4R

Теорема 4. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу вписанной окружности, т. е. Доказательство: Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника: r =, R =, r a =, r b =, r c = Значит,

Теорема 5. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра треугольника, т. е. r a r b + r b r c + r c r a = p 2 Доказательство: Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника: r =, r a =, r b =, r c = Подставим Из формулы Герона следует (p – a)(p – b)(p – c) =, поэтому

Теорема 6. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. r a r b r c = rp 2 Доказательство: Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона r a =, r b =, r c =, Тогда

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника, т.е. Доказательство: Из r a r b r c = rp 2 = rp × p = Sp. Следовательно

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е. Доказательство: Из следствия 1, что и равенства S = pr, получаем, перемножая их почленно,. Значит

§ 5. Следствие 3. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е.,, Доказательство: Воспользуемся формулами, Значит,,

ЗАДАЧА 1 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) В-16. «Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6.» Решение: Согласно следствию 2, произведение радиусов можно найти по формуле r a r b r c = rp 2. Где r-радиус вписанной в треугольник окружности, а р – полупериметр треугольника. Р=4+5+6=15, р=15/2=7,5. r =S/p. Площадь найдем по формуле Герона: S =р(pa)(pb)(pa). S= 7,5(7,5-4)(7,5-5)(7,5 -6) = 3,757; r=3,75 7 : 7,5=7/2. Отсюда r a r b r c =( 7/2) :(15/2)² =225 7/8 Ответ:

ЗАДАЧА 2 (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко) Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. Решение: S=abc/4R,следовательно abc=S·4R. 4R=r a +r b +r c -r; S=r a r b r c /p; p²=r a r b +r a r c +r b r c ;p²=9·18+9·21+18·21=27²; S=9·18·21/27=126; 4R=r a +r b +r c -r; r=r a ·r b ·r c / p²; r=9·18·21/27²=14/3; 4R = /3 = 130/3; abc=126·130/7=5460 Ответ: 5460

ЗАДАЧА 3 (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева) Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. Решение: Сделаем чертеж к данной задачи. Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то –это вневписанная окружность.

Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса угла ВАС, а AO – биссектриса угла CAD В А С OOF D FAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол. АК – высота, проведенная к гипотенузе. AK²=FK·KO, 5²=FK·7,5; FK=25:7,5=10/3/. FK – радиус вписанной в АВС окружности, следовательно r = 10/3. Ответ: 10/3 Кr

ЗАДАЧА 5. (Сборник « Математика. Все для ЕГЭ 2011». Часть I. Автор Д. А. Мальцев) « Точка О1 - центр вписанной окружности треугольника АВС, а точка О2 – центр окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Найдите расстояние между точками О1 и О2, если радиус описанной окружности треугольника АВС равен 6, а sin ВО1С = 5/3.

Так как О 2 –центр вневписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис внешних углов к углам В и С треугольника АВС и биссектрисы угла А. Выразим ВО 1 С через А. Рассмотрим ВО 1 С. ВО1С = 180° - ½( В + С) = 180° - ½(180° - А)= 90° + ½ А. sin ВО 1 С = sin (90° + А) = cos(½ А) = 5/3. Т.к. sin²(½ А) + cos²(½ А) =1, следует, что sin (½ А)=. К – точка пересечения биссектрисы угла ВАС с окружностью описанной около треугольника АВС. Т.к. ВО 1 и ВО 2 биссектрисы смежных углов, то О 2 ВО 1 =90°. Следовательно, О 1 О 2 гипотенуза прямоугольного треугольника О 1 ВО 2. Поскольку СВК = КАС(как вписанные углы опирающиеся на одну дугу), то О 1 ВК = СВК + СВО 1 = ½ А + ½ В. А поскольку ВО 1 К = ½ А + ½ В, то О 1 ВК = ВО 1 К, и, значит ВО 1 К – равнобедренный, ВК=О 1 К. Из равенства углов О 1 ВК= ВО 1 К, следует, О 2 ВК = ВО 2 К ( О 2 ВК=90° - О 1 ВК, ВО 2 К = 90° - ВО 1 К). Поэтому ВО 2 К также равнобедренный, ВК=О 2 К. Из равенств ВК=О 1 К и ВК=О 2 К получаем, что О 1 О 2 = 2ВК. Длину отрезка ВК найдем из треугольника АВК по теореме синусов: ВК=2Rsin BAK. Т.к sin BAK = sin (½ А)=, а R=6(по условию), то ВК=2·6· =8, О 1 О 2 =2ВК=16. Ответ: 16

Рассмотренные свойства позволили установить связь между радиусами вписанной и вневписанной окружностями, между радиусами вневписанной окружностью и площадью треугольника, между радиусами вневписанных окружностей и периметром треугольника. Данный материал выходит за рамки школьной программы и будет полезен учащимся при подготовке к итоговой аттестации. 3. Заключение.