Методическая разработка по дисциплине «Математика» на тему «Физический и геометрический смысл производной» Составила: преподаватель высшей категории Викулина Елена Владимировна ГБПОУ «колледж «Красносельский» ГБПОУ «колледж «Красносельский» Г.Санкт-Петербург 2013 год

2 Содержание Определение производной Физический смысл производной Геометрический смысл производной Уравнение касательной Связь свойств функции с её производной 17

3 Определение Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии,что приращение аргумента стремится к нулю Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии,что приращение аргумента стремится к нулю

4

5 Физический смысл производной Если материальная точка движется по закону S (t), то скорость её движения V (t) в момент времени t равна производной S (t), то есть V (t) = S (t). Если материальная точка движется по закону S (t), то скорость её движения V (t) в момент времени t равна производной S (t), то есть V (t) = S (t). Производная от скорости – ускорение a (t) = V (t), то есть ускорение равно второй производной от функции a (t) = V (t) = S (t). Производная от скорости – ускорение a (t) = V (t), то есть ускорение равно второй производной от функции a (t) = V (t) = S (t).

6 Задачи на физический смысл производной 1 Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = 5t +0,2t² -6 (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 5 секунд после начала движения. 1 Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = 5t +0,2t² -6 (м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 5 секунд после начала движения.

7 2 Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = 2t³ - 12t² + 7 (м), где t – время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/с²? 2 Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = 2t³ - 12t² + 7 (м), где t – время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/с²? 3 Две материальные точки движутся по законам S1 = 2,5t² -6t + 1; S2 =0,5t² +2t -3. В какой момент времени их скорости будут равны? 3 Две материальные точки движутся по законам S1 = 2,5t² -6t + 1; S2 =0,5t² +2t -3. В какой момент времени их скорости будут равны?

8 Решение задач 1 V(t) = S(t) = 5+0,6t²; V(5) = 5+0,6*5² = 20 (м/с) 1 V(t) = S(t) = 5+0,6t²; V(5) = 5+0,6*5² = 20 (м/с) 2 V(t) = S(t) = 6t² -24t; a(t) = V(t) = S(t) = 12t – 24; По условию a(t) = 36; то есть 12t – 24 = 36; t = 5 (c) 2 V(t) = S(t) = 6t² -24t; a(t) = V(t) = S(t) = 12t – 24; По условию a(t) = 36; то есть 12t – 24 = 36; t = 5 (c) 3 V1(t) = S1(t) = 5t - 6; V2(t) = S2(t) = t+ 2; По условию V1(t) =V2(t); то есть 5t – 6 = t +2; t = 2 (c) 3 V1(t) = S1(t) = 5t - 6; V2(t) = S2(t) = t+ 2; По условию V1(t) =V2(t); то есть 5t – 6 = t +2; t = 2 (c)

9 Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции y = f (x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции y = f (x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x.

10 Задачи на угловой коэффициент касательной 1 Дана функция f (x) =3x²+5x-6. Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен «-7». 1 Дана функция f (x) =3x²+5x-6. Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен «-7». 2 Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f (x) = 4Cos x+3 в точке с абсциссой x = - /3. 2 Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f (x) = 4Cos x+3 в точке с абсциссой x = - /3.

11 Решение задач 1 Ккас = f (x) = 6x + 5; По условию Ккас = -7, то есть 6х + 5 = -7; х = -2; у = f (-2) = 3*(-2)² + 5*(-2) – 6 = -4; (-2; -4) – точка касания 1 Ккас = f (x) = 6x + 5; По условию Ккас = -7, то есть 6х + 5 = -7; х = -2; у = f (-2) = 3*(-2)² + 5*(-2) – 6 = -4; (-2; -4) – точка касания 2 Ккас = f (x) = 6*Cosx + Sinx; f ( /3 ) = 6 *Cos( /3 ) + Sin( /3 ) = 6*1/2 + 3/2 = (6 + 3)/2 ; Ккас = (6 + 3)/2 ; 2 Ккас = f (x) = 6*Cosx + Sinx; f ( /3 ) = 6 *Cos( /3 ) + Sin( /3 ) = 6*1/2 + 3/2 = (6 + 3)/2 ; Ккас = (6 + 3)/2 ;

12 Зависимость знаков производной от угла наклона касательной

13 Нахождение значения производной в заданной точке по графику функции Нахождение значения производной в заданной точке по графику функции

14 Решение задач 1 Из ABC: tg α = tg ACB = AB/BC = 10/5 =2 1 Из ABC: tg α = tg ACB = AB/BC = 10/5 =2 2 Из ABC: tg α = -tg ABС = - AC/BC = - 3/12 = -0,25 2 Из ABC: tg α = -tg ABС = - AC/BC = - 3/12 = -0,25

15 Уравнение касательной дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f (x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке Xo (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением: y = f (Xo) · (X Xo) + f (Xo) Здесь f (Xo) значение производной в точке Xo, а f (Xo) значение самой функции. дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f (x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке Xo (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением: y = f (Xo) · (X Xo) + f (Xo) Здесь f (Xo) значение производной в точке Xo, а f (Xo) значение самой функции.

16 Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке Xo = /2. f (Xo) = f ( /2) = 2sin ( /2) + 5 = = 7; f (x) = (2sin x + 5) = 2cos x; f (Xo) = f ( /2) = 2cos ( /2) = 0; f (Xo) = f ( /2) = 2sin ( /2) + 5 = = 7; f (x) = (2sin x + 5) = 2cos x; f (Xo) = f ( /2) = 2cos ( /2) = 0; Уравнение касательной: y = 0 · (x /2) + 7 y = 7 Уравнение касательной: y = 0 · (x /2) + 7 y = 7

17 Связь свойств функции с её производной

18 Исследовать функцию на монотонность и экстремумы по графику производной

19 Решение задачи Функция y = f(x) возрастает на промежутках [-7;-4] и [-1;4] ; Функция y = f(x) возрастает на промежутках [-7;-4] и [-1;4] ; Функция y = f(x) убывает на промежутках [-4;-1] и [4;6] ; Функция y = f(x) убывает на промежутках [-4;-1] и [4;6] ; Х = -4 и Х = 4 – точки максимума; Х = -4 и Х = 4 – точки максимума; Х = -1 –точка минимума Х = -1 –точка минимума