Графический способ решения уравнений АЛГЕБРА: 8 КЛАСС

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b,c – любые числа ( коэффициенты ), причем а 0. Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь решать некоторые квадратные уравнения, причём различными способами; мы рассмотрим эти способы на примерах одного квадратного уравнения. Пример. Решить уравнение х 2 - 2х-3=0

1 способ. Построим график функции у = х 2 -2х -3. у х -4-4 у= -4 х=1 3 у=х 2 -2х-3 Рис.1 Абсциссы точек пересечения параболы с осью х являются корнями уравнения, т.е. х 1 = -1, х 2 = 3.

2 способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 = 2х+3. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = 2х + 3. Они пересекаются в двух точках А (-1,1) и В (3,9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1, х 2 = 3. у х 9 3 А В у = х 2 у = 2х + 3 Рис.2

3 способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 – 3 = 2х. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 – 3 и у = 2х. Они пересекаются в двух точках А (-1,-2) и В (3,6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1, х 2 = 3. у х 6 В у = 2х А у = х 2 – 3 Рис.3

4 способ. Преобразуем уравнение к виду х 2 –2х+1–4 = 0 и далее х 2 –2х+1=4, т.е.( х – 1 ) 2 =4. Построим в одной системе координат параболу у = ( х – 1 ) 2 и прямую у =4. Они пересекаются в двух точках А (-1,4), и В (3,4). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1, х 2 = 3. у х Х=1 А 4 В у =4 у = ( х – 1 ) Рис.4

Рис. 5 у х А В у=х-2 5 способ. Разделим обе части уравнения на х: у

Применим рассмотренные способы решения для других уравнений.

21 у=x y x A у=2x Решите уравнение: х² - 2х = 0 Преобразуем уравнение к виду х² = 2х Построим в одной системе координат график функций у = х² и у = 2х Они пересекаются в двух точках А(0;0) и В(2;4), значит уравнения имеет 2 решения. Корнями уравнения служат общие абсциссы точек А и В, значит х 1 = 0; х 2 = 2 Рис.6

y x A B у=x 2 у=2x Решите уравнение: х² - 2х – 3 = 0 Преобразуем уравнение к виду х² = 2х + 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 и у = 2х + 3. Они пересекаются в двух точках А(-1;1) и В(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1; х 2 = 3.

у=3 у=x 2 -2x y x Преобразуем уравнение к виду х 2 - 2х = 3. Построим в одной системе координат графики функций у = х 2 - 2х и у = 3. у (1) = 1 2 – 2 * 1 = -1 Значит, вершиной параболы служит точка (1; -1), а осью параболы служит прямая х=1. Графики функции пересекаются в двух точках А(-1;3) и В(3;1) Корнями уравнения служат абсциссы точек А и В, значит х 1 = -1; х 2 = 3.

A B y = x - 4 y x Они пересекаются в двух точках А(-1,1; - 4) и В(5;1) Корнями уравнения служат абсциссы этих точек, поэтому х 1 = -1,1; х 2 = 5. и прямую у = х-4.

Замечание. Несмотря на обилие способов графического решения уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. Пусть, например, нужно решить уравнение х 2 -х-3=0 ( специально возьмём уравнение, похожее на то, что было в рассмотренном примере). Попробуем его решить, например, вторым способом: преобразуем уравнение к виду х 2 =х+3, построим параболу у=х 2 и прямую у=х+3, они пересекаются в точках А и В (рис.6), значит, уравнение имеет два корня. Но чему равны эти корни, мы с помощью чертежа не можем сказать – точки А и В имеют недостаточно точные координаты, как в приведённом в выше примере. Рис. 6 у х А В у=х+3 у=х 2

А теперь рассмотрим уравнение: х 2 -16х -95=0. Попробуем его решить, например, третьим способом. Преобразуем уравнение к виду х 2 -95=16х. Здесь надо построить параболу у=х и прямую у=16х. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу у=х 2 надо опустить на 95 клеток вниз.

Итак, для того, чтобы хорошо уметь решать уравнения графическим способом, необходимо четко знать свойства всех функций, уметь точно строить их графики и находить без ошибок абсциссы точек пересечения, которые и будут является решениями уравнений. Графический способ решения квадратных уравнений не всегда является рациональным, поэтому в таких случаях лучше воспользоваться аналитическим способом решения уравнений.

Рекомендации по решению уравнений графическим способом. Чтобы научиться правильно решать уравнения графическим способом надо: Знать свойства и графики функций. Уметь правильно строить графики этих функций. Уметь правильно находить координаты точек пересечения графиков, абсциссы которых будут являться корнями данного уравнения.

Спасибо за внимание!